习题1.2主要内容及教案内容

习题课

函数的概念与性质

学习目标

1.进一步理解函数的概念及其表示方法(重点).2.能够综合应用函数的性质解决相关问题(重点、难点).

1.若函数y＝x2－3x的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为(

) A.{－2，0，4}

9y|y≤－C.4

B.{－2，0，2，4} D.{y|0≤y≤3}

解析

依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0.所以函数y＝x2－3x的值域为{－2，0，4}. 答案

A 2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为(

) 1A.y＝x2

C.y＝x2

1B.y＝x

D.y＝x3

1解析

函数y＝x与y＝x3都是奇函数，y＝x2在(0，＋∞)上是增函数，故选A. 答案

A 3.若函数f(x)是定义在[－6，6]上的偶函数，且在[－6，0]上单调递减，则(

) A.f(3)＋f(4)>0

C.f(－2)＋f(－5)<0

B.f(－3)＋f(－2)<0 D.f(4)－f(－1)>0 解析

因为f(x)是偶函数，所以f(4)＝f(－4)，又f(x)在[－6，0]上单调递减，所以f(－4)>f(－1)，即f(4)－f(－1)>0. 答案

D 4.设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1)时，f(x)＝2－4x＋2，－1≤x<0，3则f2＝________. x，0≤x<1，31112解析

f2＝f－2＋2＝f－2＝－4×－2＋2＝1. 

答案

1

类型一

求函数的定义域和解析式

【例1】

(1)函数f(x)＝x＋2＋1的定义域为________；

x－122(2)已知fx＋1＝x＋2x－3，则f(x)＝________. x＋2≥0，解析

(1)由解得x≥－2且x≠1，故f(x)的定义域为{x|x≥－2且x≠1}. x－1≠0，22444(2)令t＝x＋1(t≠1)，则x＝，所以f(t)＝＋－3，即f(x)＝t－1（t－1）2t－1（x－1）24＋－3(x≠1). x－1答案

(1){x|x≥－2且x≠1}

(2)44－3(x≠1) 2＋（x－1）x－1规律方法

1.求函数的定义域的方法

求已知函数的定义域时要根据函数的解析式构建不等式(组)，然后解不等式(组)可得，同时注意把定义域写成集合或区间的形式. 2.求函数解析式的方法有：

(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消去法. 【训练1】

(1)函数f(x)＝(x－1)0＋2的定义域为________；

x＋1(2)已知f(x)是二次函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，f(2)＝1，f(1)＝3，则f(x)＝________. x－1≠0，解析

(1)由2得x>－1且x≠1，故f(x)的定义域为{x|x>－1且x≠1}. ≥0，x＋1(2)由f(1－x)＝f(1＋x)且f(1)＝3，可设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)，又f(2)＝a(2－1)2＋3＝1，故a＝－2，所以f(x)＝－2x2＋4x＋1. 答案

(1){x|x>－1且x≠1}

(2)－2x2＋4x＋1 类型二

函数的单调性与最值

ax【例2】

已知f(x)＝2(a≠0)，x∈(－1，1). x－1(1)讨论f(x)的单调性；

11(2)若a＝1，求f(x)在－2，2上的最大值和最小值. 解

(1)设任意－1

则f(x1)－f(x2)＝ax1ax2－

2x21－1x2－12ax1x2a（x2－x1）（x1x2＋1）2－ax1－ax2x1＋ax2＝＝. 22（x2（x21－1）（x2－1）1－1）（x2－1）∵－1

2∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x1－1)(x22－1)>0，

∴当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)在(－1，1)上是减函数；

当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

x－12121故f(x)的最大值为f－2＝3，最小值为f2＝－3. 规律方法

函数单调性的证明及应用

(1)利用定义法证明函数单调性的步骤为：取值、作差或作商、变形、定号、下结论.若含有字母(如本例)，则一般需分类讨论. (2)利用函数单调性求最值的步骤：①确定函数的单调性；②借助最值与单调性的关系写出函数的最值. 11【训练2】

已知函数f(x)＝a－x(a＞0，x＞0). (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

1(2)若a＝2，求f(x)在2，2上的最值. (1)证明

设任意x2＞x1＞0，则

111111f(x2)－f(x1)＝a－x－a－x＝x－x

2112x2－x1＝xx＞0. 12∵x2＞x1＞0，∴x2－x1＞0，x1x2＞0，

∴f(x2)＞f(x1)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.

11(2)解

当a＝2时，f(x)＝2－x. 1由(1)得f(x)在2，2上是单调增函数，

3111∴f(x)min＝f2＝2－1＝－2，

211f(x)max＝2－2＝0. 考查

方向

类型三

函数性质的综合应用

方向1

利用函数的单调性与奇偶性比较大小

【例3－1】

设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是________. 解析

因为f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又当x≥0时，f(x)是增函数，所以f(2)

f(－2)

方向2

利用函数的单调性与奇偶性解不等式

【例3－2】

设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)

因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，3]上是减函数，

所以f(x)在[－3，3]上是减函数. 所以不等式f(1－m)

1－m>m，1－3≤m≤3，解得－2≤m<2. －3≤1－m≤3，规律方法

1.利用函数的奇偶性和单调性比较大小的方法

对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值转化到同一个单调区间上，然后再根据单调性判断. 2.利用函数奇偶性和单调性解不等式

解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或

f(x1)

已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(

) A.[－2，2]

C.[0，4]

B.[－1，1]

D.[1，3] 解析

因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝1，于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D. 答案

D

1.利用定义证明函数单调性的步骤：①取值；②作差；③定号；④判断. 2.判断函数单调性的常用方法有：定义法、图象法. 3.利用函数的单调性、奇偶性可以解决以下问题：

(1)比较函数值的大小，根据已知条件，利用奇偶性把自变量转化到已知单调性的区间上，再根据函数的单调性比较大小；

(2)解不等式，根据函数的奇偶性转化自变量的范围、然后根据函数的单调性脱掉“f”号，使其转化为具体的不等式后求解.

基础过关

11.函数f(x)＝x在[1，＋∞)上(

) A.有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.有最大值也有最小值

D.无最大值也无最小值

1解析

结合函数f(x)＝x在[1，＋∞)上的图象可知函数有最大值无最小值.

答案

A 2.已知f(x)是偶函数，且在区间[0，1]上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(

) A.f(－0.5)

∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)，又∵f(x)在区间[0，1]上是增函数，

∴f(0)

C 13.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f(3)的x的取值范围是(

) 12A.3，3

12C.2，3

12B.3，3

12D.2，3

1112412解析

由题意得|2x－1|<3⇒－3<2x－1<3⇒3<2x<3⇒3

A 4.函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________. m2m2解析

f(x)＝2x－4＋3－8，

m由题意得4＝2，∴m＝8，则f(x)＝2x2－8x＋3，

∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 答案

－3

5.已知函数f(x)＝ax＋1在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________. x＋2ax2＋1ax1＋1（2a－1）（x2－x1）－＝.x2＋2x1＋2（x2＋2）（x1＋2）（2a－1）（x2－x1）<0.因为(x2＋2)(x1（x2＋2）（x1＋2）解析

设任意x2>x1>－2，则f(x2)－f(x1)＝因为f(x)在(－2，＋∞)内单调递减，所以＋2)>0，

1x2－x1>0，所以2a－1<0，所以a<2. 1答案

－∞，2

6.如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式.

1解

当点P在BC上运动，即0≤x≤4时，y＝2×4x＝2x；

1当点P在CD上运动，即4

1当点P在DA上运动，即8

24－2x，8

f(x)＝－(x－1)2－2；f(2)＝－3，f(0)＝－3；

1∴当2a－1≤0，即a≤2时，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；

13当0<2a－1<2即2

不妨记f(x)的最小值为g(a)，

12a≤－4a＋8a－6，2则g(a)＝

31

∴g(a)的最大值为－3，即f(x)在[2a－1，2]上的最小值的最大值为－3. 能力提升

8.f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1，2}，则A∩B一定是(

) A.∅

C.{1}

B.∅或{1}

D.∅

解析

由题意可知，集合A中可能含有的元素为：当x2＝1时，x＝1，－1；当x2＝2时，x＝2，－2.所以集合A可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合.无论含有几个元素，总有A∩B＝∅或{1}，故选B. 答案

B 19.定义在R上的奇函数f(x)，满足f2＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf(x)>0的解集为(

) 11A.x|x<－2或x>2

11B.x|0

11C.x|0

11D.x|－22

11解析

∵函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f2＝0，∴f－2＝0，11且在区间(－∞，0)上单调递减.∴当－20；当00，此时xf(x)>0. 综上xf(x)>0答案

B 10.已知函数y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________. 11的解集为x|0

解析

由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，

∴f(1)＝g(1)－2＝－1.又y＝f(x)是奇函数，

∴f(－1)＝－f(1)＝1，从而g(－1)＝f(－1)＋2＝3. 答案

3 11.已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________. 解析

∵x＋y＝1，x≥0，y≥0，∴y＝1－x，x∈[0，1]，∴x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝1112x2－2x＋1.对称轴为x＝2，故x＝2时，有最小值为2，x＝0或x＝1时有最大值为11，则x2＋y2的取值范围为2，1. 1答案

2，1

12.设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)

∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，∴不等式f(1－m)|m|，1又当x∈[0，2]时，f(x)是减函数.∴－2≤1－m≤2，解得－1≤m<.故实数m的2－2≤m≤2，1－1，取值范围为. 213.(选做题)设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2. (1)求证：f(x)是奇函数；

(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值与最小值. (1)证明

令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，

∴f(0)＝0.又令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数. (2)解

设任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，

于是f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＜0，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在R上是减函数，从而f(x)在[－3，3]上单调递减，

∴f(x)的最小值为f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝f(1＋1)＋f(1)＝3f(1)＝－6，

最大值为f(－3)＝－f(3)＝6.