小结教案1

1.6 微积分基本定理

主备人：陈丹丹

备课教师：陈丹丹、张艳华、宋宾、吕佩剑

一、学习目标

1.能说出微积分基本定理. 2.能运用微积分基本定理计算简单的定积分. 3.能掌握微积分基本定理的应用. 二、重点难点

重点：微积分基本定理以及利用定理求定积分. 难点：复合函数定积分计算. 微积分基本定理

1．一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么baf(x)dx＝ ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫 公式

2．为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记成F(x)a，即bf(x)dx＝F(x)a＝ a答一答

1．满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)是唯一的吗？这影响微积分基本定理的正确性吗？

提示：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)不是唯一的，这些函数之间相差一个常数，

即(F(x)＋c)′＝f(x)，但这并不影响微积分基本定理，

因为bf(x)dx＝[F(x)＋c]|ba

a＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)，

所以用一个最简单的原函数F(x)就可以．

2．求导数运算与求原函数运算有什么关系？

提示：求导数运算与求原函数运算可以看作是互逆的运算，但一个函数的导函数是唯一的，而一个函数的原函数却不止一个，这些原函数之间仅相差一个常数，在利用微积分基本定理计算定积分时，只要选用最简单的一个即可．

bb

定积分的符号

由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正值也可能取 ，还可能是 . 1．当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取 值，且等于曲边梯形的 (如图(1)) 2．当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取 值，且等于曲边梯形的 3．当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 ，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积 位于x轴下方的曲边梯形面积．(如图(3))

4．如图阴影部分的面积怎样表示？

提示：S＝b[f(x)－g(x)]dx. a5．如图阴影部分的面积如何表示？

提示：S＝

0 [－f(x)]dx

－a＋bf(x)dx

0＝－

0f(x)dx＋bf(x)dx. －a0f(x)dx，|f(x)|dx与|f(x)dx|的区别

aaa1.bf(x)dx表示由x轴，曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b(a

2．|f(x)|是非负的，所以b|f(x)|dx表示由x轴，曲线y＝|f(x)|及直线x＝a，abbbx＝b(a

类型一：求较简单函数的定积分

【例1】

计算下列各定积分．

(1) 0 (cosx＋ex)dx; (2)2(t＋2)dx；

-π11(3)3(2x－2)dx

x1【解】

(1)∵(sinx＋ex)′＝cosx＋ex，

－π∴0 (cosx＋ex)dx＝(sinx＋ex)|0. －π＝1－e-π(2)∵[(t＋2)x]′＝t＋2，

∴2(t＋2)dx＝(t＋2)x|21

1

＝(2t＋4)－(t＋2)＝t＋2. 11(3)∵(x2＋)′＝2x－2，

xx11122∴3(2x－2)dx＝(x2＋)|3＝7＋＝. 1xx331通法提炼

计算定积分要注意两点：①要正确选择被积函数的原函数；②要注意被积区间，其结果是原函数在[a，b]上的改变量F正值，也可能取负值，还可能取0. 类型二：分段函数的定积分

【例2】

计算下列定积分．

π3(1)∫20|sinx|dx；(2)|x－2|dx. 1b－Fa，而且定积分的值可能取【思路分析】

由于被积函数是含有绝对值的解析式，所以需在积分区间上把函数分段，从而分段积分，其中(1)小题的零点是x＝π，(2)小题的零点是x＝2. sinx

0≤x≤π【解】

(1)∵|sinx|＝－sinx π

π2ππ∴∫20|sinx|dx＝sinxdx＋∫π(－sinx)dx

02π＝－cosx|π0＋cosx|π

＝－(cosπ－cos0)＋(cos2π－cosπ)＝2＋(1＋1)＝4. x－2 x≥2(2)∵|x－2|＝2－x x<2

∴3|x－2|dx＝2(2－x)dx＋3(x－2)dx

112＝22dx－2xdx＋3xdx－32dx

11222222132＝2(2－1)－－＋－－2(3－2) 222235＝2－＋－2＝1. 22

通法提炼

由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质

，转化为各区间上定积分的和计算.