实习作业教学目标

课题：函数的奇偶性

（授课年级及课型：高一新授课）

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教材内容分析（苏教版高中数学必修一第二章第二节）

函数奇偶性是继函数单调性之后又一重要的函数性质，是在学生理解函数概念的基础上，通过引入函数性质进一步深化对函数的理解，是对函数的强抽象过程；也是今后研究各种基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的基础，是发展学生数学思维，培养其发现和提出问题、分析和解决问题的重要载体.因此，本节课在教材整体结构中起着承上启下的重要作用. 2

学情分析

本节课授课对象是高一年级学生，函数奇偶性的学习是学生在学习了函数单调性的基础上进一步对函数性质的探究，是对函数概念的强抽象，进一步加深对函数的理解.在能力要求上，高一新生数学抽象能力较为薄弱，通过函数的研究与函数性质的探索，形成学生数形结合的思想，形成数学规范的思维模式，促成其数学核心素养（直观想象、数学抽象、逻辑推理等）的培养，建构全面系统的数学知识网络. 3

教学目的

（1）会用数量关系判断函数的图象的对称性，在此基础上理解函数奇偶性的定义，利用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单问题；

（2）经历奇偶性概念形成过程，培养学生发现和提出问题的能力，提高学生数学素养；

（3）通过自主探究，体会数形结合、类比归纳等数学思想，感受数学图象的对称美和代数表达的简洁美；

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教学重点与难点

教学重点：用数量关系刻画函数图象的对称性；函数奇偶性的定义及其判定；

教学难点：奇偶性概念形式化定义的形成. 5

教学方法与策略

本节课采用启发式教学与探究式教学相结合，通过生活实例引入函数的奇偶

性，让学生体会数学来源于生活，培养学生数学思维以及用数学的眼光观察世界、用数学语言表达世界的能力.引导学生从具体函数中抽象出函数奇偶性概念，此中涉及对函数图象进行分类，使学生在分类过程中体会分类的必要性、分类标准，认识分类对象的属性，并结合HPM视角，将数学史与数学文化教学融入其中，让学生了解函数奇偶性概念的发展历程，感受数学家研究问题的思维方式，增强学生学好数学的自信. 6

教学过程

6.1

渗透数学文化，激发学生的学习需求

展示如图1所示图片.请同学们欣赏一组图片.

教师：对称，是大自然的一种美，在实际生活中，对称性在许多地方起着极其重要的作用，例如：将园林设计成对称的形态，给人以美的享受；汽车为易于驾驶，设计成轴对称……数学中也有对称美，希望同学们都拥有一双发现数学美的慧眼.我们在初中学过哪几种对称？

学生：轴对称、中心对称. 教师：你能具体列举一些函数的例子，说说其函数图象具有的对称型吗？

生1：f(x)x,f(x)x,f(x)21x，它们的对称性是……

教师：类似的，我们借助几何画板再画出一些函数的图象，如：

f(x)x,f(x)x,f(x)x342.

教师：同学们观察图象，根据图象特征，请你给上述函数分类并说明分类依据吗？

生2：函数函数

f(x)x,f(x)x1f(x)x,f(x)x22,f(x)x4归为一类，其图像都关于y轴对称；,f(x)x3归为一类，其图像都关于原点对称. 教师：给这两类函数分别起什么名字比较好？

生3：第一类叫偶函数，其指数都是偶数；第二类叫奇函数，其指数都为奇数. 教师：同学们很了不起，1727瑞士数学家欧拉交给圣彼得堡科学院的一篇论文中首次提出偶函数与奇函数概念时，就是根据指数的奇偶特点进行定义的.但是这样定义有它的局限性，后来欧拉和其它数学家对概念进行了推广，才得到今天偶函数和奇函数的定义. 教师：今天我们就一起来研究函数的奇偶性.（板书课题：函数的奇偶性）

6.2

以问题为出发点，引发学生认知冲突，建构概念

教师：刚才我们是从函数图象的对称性来分类. 问题1：如果遇到我们不熟悉的函数时，如：f(x)图象的几何特征呢？

x35x，我们如何判断

生4：我们是否可以从代数角度对函数进行研究呢？

教师：很好，那么怎样用数量关系来刻画函数的这种对称关系呢？我们先选择偶函数

f(x)x2，它的图象关于y轴对称，怎样用数量关系来刻画？（几何画板演示图象上任意一点运动，其关于y轴对称点运动的图象）

生5：自变量互为相反数，函数值相等. 教师：用符号语言如何表示这一特征？

生6：f(x)=f(-x). 教师：是对一个x成立还是对任意x都成立？那么对任意x∈R，都有f(x)=f(-x)，则函数f(x)x2的图象关于y轴对称吗？

生7：对任意x∈R，都有f(x)=f(-x)表明自变量互为相反数，它们的函数值相等，反映函数图象上两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，即（x,y）和（-x,y）都在图像上.根据点的对称性，则图象关于y轴对称. 问题2：如何判定函数y= f(x)的图象关于y轴对称？

生8：f(x)的定义域A内任意一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)图象关于y轴对称. 教师：具有这样性质的函数有很多，我们称这样的函数为偶函数.如果一个函数是偶函数，其图象关于y轴对称，图像上任意一点（x,y）关于y轴的对称点（-x,y）都在图像上，即对任意x∈A，都有f(x)=f(-x). 问题3：你能给出偶函数的定义吗？

生9：一般地，设函数y= f(x)的定义域为A，如果对任意x∈A，都有f(x)=f(-x)，那么称函数y= f(x)为偶函数. （板书设计：图象关于y轴对称、（x,y）和（-x,y）都在图像上、对任意x∈A，都有f(x)=f(-x)）

问题4：f(x)x,f(x)x1,f(x)x3这一类函数图象关于原点对称，如何判断函数y= f(x)的图象关于原点对称？

（板书设计：图象关于原点对称、（x,y）和（-x,-y）都在图像上、对任意x∈A，都有f(-x)=- f(x)）

问题5：你能给出奇函数的定义吗？

生10：一般地，设函数y= f(x)的定义域为A，如果对任意x∈A，都有f(-x)= - f(x)，那么称函数y= f(x)为奇函数. 教师：如果函数y= f(x)是奇函数或偶函数，则称函数y= f(x)具有奇偶性. 练习1（教材P43）：对于定义在R上的函数f(x)，下列判断正确的是_________________. （1）若f(x)是偶函数，则f(-2)= f(2)；

（2）若f(-2)= f(2)，则函数f(x)是偶函数；

（3）若f(-2)≠

f(2)，则函数f(x)不是偶函数；（4）若f(-2)= f(2)，则函数f(x)不是奇函数. 6.3

概念内化，培养学生分析解决问题的能力

例1（教材P42）判断下列函数是否为偶函数或奇函数：

（1）f(x)2x；（2）f(x)2x；（3）f(x)x2（4）f(x)(x1)1；2. 变式1：若（3）中加上x∈[-2,1]，判断其奇偶性. 生11：由偶函数定义，对任意x∈A，都有f(x)=f(-x)，这里x=-2时，不存在对应的f(2)，所以这是非奇非偶函数. 教师：函数具有奇偶性对定义域有什么要求？

生12：由函数奇偶性的定义可知，定义域首先要关于0对称. 教师：当我们判断函数奇偶性时首先应关注什么？

生13：首先考虑函数的定义域.（板书各题中的定义域）

教师：通过这几道例题，你能归纳判断函数奇偶性的一般步骤了吗？

生14：第一步先考虑定义域，若定义域不关于0对称则此函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于0对称进行第二步；第二步，判断f(x)与f(-x)的关系，若f(x)=f(-x)，则函数为偶函数，若f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数. 教师：这几个函数我们都很熟悉，既可以根据定义判定函数的奇偶性，也可以结合图象直观判断.下面这个函数如何判断呢？

例2（教材P43）判断函数生15：略. 教师：非常好，有了函数奇偶性的定义，对于我们不熟悉的函数，我们也可以探求它的图象特征了. f(x)x35x是否具有奇偶性.

变式2：对于例2中的函数，你能加上适当的项使它仍为奇函数吗？你能加上适当的项使它既不是奇函数也不是偶函数吗？使它是偶函数？既是奇函数又是偶函数？

6.4

归纳小结，将知识内化为素养

教师：请你说说奇函数与偶函数的异同？

生16：略. 教师：利用函数的奇偶性，比如函数f(x)为R上的偶函数，已知其在（0，+∞）为单调增函数，你能判断其在（-∞，0）上的单调性吗？

教师：同单调性一样，函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它可以帮助我们从局部研究函数的整体，简化研究对象，起到“事半功倍”的效果. 7

板书设计

课题：函数的奇偶性

定义：

判断的一般步骤

多媒体展示

例1、

例2、

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教学反思

本节课教学从生活实例出发，抽象出与本节课内容有关的数学知识，不仅让学生体会到数学来源于生活，要在生活和数学中拥有一双发现美的眼睛，更培养学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界，用数学语言表达世界的能力，促进学生实践能力和创新意识的发展. 《普通高中数学课程标准（2017版）》在课程的基本理念中指出：把握数学本质，启发思考，改进教学.不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.在教学活动中，我结合HPM视角，将数学文化、数学史融入课堂，让学生了解函数奇偶性概念的发展历程，感受数学家研究问题的思维方式，形成数学式的理性思维，感受数学的无限魅力. 课堂教学除了教授知识，更要教会学生如何学习，重要的是对学生学习方式的引领，让学生学会研究数学概念的基本方法.本节课中，在教师的引导下，学

生应用从特殊到一般、数形结合等思想，师生共同探究得到偶函数的定义，最后通过类比偶函数的方式，让学生自主研究奇函数，生成奇函数的定义.教学以数学知识的发展过程为载体，为学生的概括活动搭建平台，实现对概念的意义建构. 在例题讲解环节，除了让学生通过例题规范解题，掌握证明或判断函数奇偶性的通性通法、归纳解题的一般步骤以外，更要引领和培养学生的创新意识与发散性思维.本课在书上例题的基础上，给学生提出开放性的问题变式，让学生充分发散思考，引导学生思维走向深刻，在开放中走向深度学习

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