小结优质课教案

数形结合思想在高中数学中的应用

高明一中 黎秀玲

主干知识整合：

1.数形结合思想：以形助数 ------ 用形的直观来展示数的关系

以数解形--------用数的精确来刻画形的属性

就是把问题的数量关系和图形结合起来考查的思想方法，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2.数形结合思想的作用：复杂问题简单化，抽象问题具体化

3.高考热点考点探究：纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果,常见的如在曲线方程问题、解不等式问题，函数的值域，最值，交点问题，复数和三角函数问题，解析几何中的斜率，截距，两点间的距离，点到直线的距离等等，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，同学们要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

下面就具体实例分析来体现数形结合思想的巧妙之处。

一．高考要点热点探究点一

：以形助数----解决曲线方程交点问题 1、已知0a1，则方程a|x||logax|的实根个数为（ ）

1

A. 1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个

分析：判断方程的根的个数就是判断图象ya|x|与y|logax|的交点个数，画出两个函数的图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根。

ya|x|y1y|logax|o1x2、若直线yxb与曲线y34xx2有公共点，则b的取值范围是（ ）

A.[1,122] B. [122,122] C. [122,3] D.[12,3]

分析：曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆．依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆|2－3＋b|相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b距离等于2，∴＝2，2解得b＝1＋22或b＝1－22.因为是下半圆，故可得b＝1－22，当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－22≤b≤3，所以C正确

高考要点热点探究点二

：以形助数----解决不等式问题 1、如下图所示，函数的f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是（ ）

A.{x|1x0} B.{x|1x1} C.{x|1x1} D.{x|1x2}

2

分析：令ylog2(x1)，画出函数ylog2(x1)的图象,如图所示，由x10，得x1,排除B,结合图形可排除A,D,可知正确答案为C

2、解关于x的不等式logaxsin2x，且a0,a1，当x(0,]时恒成立，4A1yy2CB2A12Cylog2(x1)B2xx则实数a的取值范围是 分析：令ylogax,ysin2x，问题等价于函数ylogax的图象在函数ysin2x的上方，作出函数ysin2x的图象，可知当0a1时有0a1a1a1

，当时明显不符合题意，所以a144loga14y 1 o4(a1)y≤1，3、若变量x，y满足约束条件x＋y≥0，x－y－2≤0，大值为(

)

2x(0a1)，则z＝x－2y的最A．4 B．3 C．2 D．1 11分析：

画出可行域(如下图)，z＝x－2y⇒y＝x－z，由图可知，当22直线l经过点A(1，－1)时，z最大，且最大值为zmax＝1－2×(－1)＝3.

3

高考要点热点探究点三

：以形助数----解决解析几何问题 1、已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1，则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2距离之和的最小值是（ ）

A.2 B.3 C.1137 D.

316分析：如图所示，过抛物线y24x上一动点P作直线l1和直线l2的垂线，垂足分别为M,Q，显然直线l2为抛物线的准线，所以有|PM||PF|，求|PM||PQ|的最小值，即求|PF||PQ|的最小值，结合图形可知焦点F到直线l1的距离d

|41306|42322为最小值

QMyPl11oFxl22、

已知实数x,y满足方程x2y24x10，

（1）求的最大值和最小值

（2）求yx的最大值和最小值

（3）求x2y2的最大值和最小值

4 yx

分析：（1）方程(x2)2y23表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，令k则ykx，当直线ykx与圆相切时k有最大值和最小值，所以圆心到直线的距离等于半径，

思想归纳：形如|2k0|k12yx3，得k3

yoyb的问题都可以转化为动直线斜率问题来解决

xax则yxb，当直线yxb与圆相切时纵截距b有最大值和(2)令yxb，最小值，由

思想归纳：形如axby的最值问题都可以转化为动直线截距的最值问题来解决 （3）x2y2表示圆上点与原点距离的平方，由几何知识可知在原点和圆心的连线与圆的两个交点处x2y2有最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(23)2743，(x2y2)min(23)2743

|20b|3，得b26 2yoxy

o2x思想归纳：形如(xa)2(yb)2的最值问题都可以转化为动点到定点距离平方的最值问题来解决 x2y23、点M是椭圆1上一点，它到其中一个焦点F1的距离为2，N为

2516

5

MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（ ）

A.32B.2C.4D.8

分析：设椭圆另一焦点为F2，（如图），

则|MF1||MF2|2a，而a5

为MF1的中点，c|OF|ON||OF1|3,|MF1|2 , 又注意到N、1||F1N|314

F2yoF1NMx4、

已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长→，则椭圆C的离心率为________．

线交C于点D, 且→BF＝2FDx2y2分析：结合图形，设椭圆方程为221，F(c,0)D(x2,y2)，F分BD所成ab的比为2，所以有3bBOBFOF2，故可得x2c,y2，代入椭圆方22BD1BDD1D39c2b23程得221e

4a4b3

高考要点热点探究点四

：以形助数----解决函数最值问题 1、

函数f(x)x22x2x24x8的最小值为___________ 分析：从代数角度难以找到解题的途径，若把f(x)稍作变形，f(x)(x1)212(x2)222，可以观察到f(x))就是点P(x,0)到点A(－1，

6

－1)、B(2，－2)的距离之和，如图，显然当P点与坐标原点重合时f(x)min2832

高考要点热点探究点五

：以数解形----解决函数图象问题 exex1、函数yxx的图象大致为(

) ee

分析：函数有意义，需使exex0，其定义域为{x|x0}，排除C，D.又exexe2x12因为yxx2x12x，所以当x0时函数为减函数，故选A. eee1e12、设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是(

)

分析：根据二次函数图象开口向上或向下，分a0或a0两种情况分类考虑．另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．当a0时，b,c同号，C、D两图中c0，故b0，b0，选项D符合．

2a

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3、若动直线x与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为(

) A．1 B.2 C.3 D．2 分析：本题可以通过作图直观得到线段MN，但要从图形的变化确定线段MN的长度的最大值是困难的，这就必须将“形”转化为“数”．求|MN||sincos||2sin()|的最大值，易知答案为B 4

yMoNx综合题 ：数形互助--------相得益彰

椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1,F2在x轴上，离心率e

（1）求椭圆E的方程 （2）求F1AF2的角平分线所在直线的方程 c1x2y2b2a2c23c2

分析：(1)设椭圆方程为221，由e，得a2c，a2ab12x2y2椭圆方程得221，把A(2,3)代入得4c3c2232x2y221得c2，椭圆方程为1 24c3c1612

（2）由（1）知F1(2,0),F1(2,0),

所以直线AF1的方程为y3(x2)，即3x4y60

，

4

直线AF2的方程为x2

，

8

由椭圆的图形知F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数，设P(x,y)为

F1AF2的角平分线所在直线上的任一点，则|3x4y6||x2|，若53x4y65x10，则直线为x2y80，其斜率为负，不合题意舍去。

所以有3x4y65x10，即2xy10，所以F1AF2的角平分线所在直线的方程为2xy10

思想归纳：利用数形结合思想来解决一些抽象数学问题时，要遵循三个原则：

(1)等价性原则：代数性质和几何图形的转换必须是等价的

(2)双向性原则：即进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易失真；

(3)简单性原则：不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的。

2、数形结合的作用在于“以形助数”，“以数解形”使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

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