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1．几类函数模型及其增长差异

(1)几类函数模型

函数模型

一次函数模型

反比例函数模型

二次函数模型

指数函数模型

对数函数模型

幂函数模型

(2)三种函数模型的性质

函数

性质

在(0，＋∞)上的增减性

增长速度

图象的变化

值的比较

越来越快

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

越来越慢

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

相对平稳

随n值变化而各有不同

单调递增

单调递增

单调递增

y＝a(a>1)x

y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 函数解析式

f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0) kf(x)＝＋b (k，b为常数且k≠0) xf(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 存在一个x0，当x>x0时，有logax

2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相

应的数学模型；

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

以上过程用框图表示如下：

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(

√

) (2)幂函数增长比直线增长更快．(

×

) (3)不存在x0，使ax0

×

) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．(

√

) (5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(

×

) (6)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(

√

)

1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

x y 0.50

－0.99

0.99

0.01

2.01

0.98

3.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(

) A．y＝2x

C．y＝2x－2

答案

D 解析

根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D. 2.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(

) B．y＝x2－1 D．y＝log2x

答案

D 解析

由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回家．故选D. 3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(

) p＋qA.

2C.pq

答案

D 解析

设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，

∴x＝1＋p1＋q－1. 4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(

) A．3

B．4

C．6

D．12 答案

A 24－4x解析

设隔墙的长度为x(0

5．(2015·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋bp＋1q＋1－1B.

2D.p＋1q＋1－1 (e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0

℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是

小时．

答案

24 eb＝192，4811＋解析

由题意得22k＋b∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33kb＝(e11k)3·eb19242＝48，e

13b1＝e＝×192＝24. 2·8

题型一

用函数图象刻画变化过程

例1

(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地

所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(

)

(2)(2015·日照模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(

)

答案

(1)D

(2)B 解析

(1)y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D. (2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B. 思维升华

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(

)

答案

D 解析

依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4

已知函数模型的实际问题

例2

(2015·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3Q10(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a、b的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？

解

(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有30a＋blog3＝0，

1090即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1. 10a＋b＝0，a＝－1，解方程组得

a＋2b＝1，b＝1.

QQ(2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，1010Q即log3≥3，解得Q≥270. 10所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．

思维升华

求解所给函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

(3)利用该模型求解实际问题．

某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为

kg.

答案

19 解析

由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19. 题型三

构造函数模型的实际问题

命题点1

构建二次函数模型

例3

某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(

)

A．10.5万元

C．43万元

答案

C B．11万元

D．43.025万元

解析

设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可212212得利润y＝4.1x－0.1x＋2(16－x)＝－0.1x＋2.1x＋32＝－0.1(x－)＋0.1×＋32. 2422因为x∈[0,16]，且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．

命题点2

构建指数函数、对数函数模型

例4

(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(

) A．1.5%

B．1.6%

C．1.7%

D．1.8% (2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(

) A．略有盈利

B．略有亏损

C．没有盈利也没有亏损

D．无法判断盈亏情况

答案

(1)C

(2)B 解析

(1)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40 lg(1＋lg 2x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%. 40(2)设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a

命题点3

构建分段函数模型

例5

某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了

km. 答案

9 解析

设出租车行驶x km时，付费y元，

9，08，

由y＝22.6，解得x＝9. 思维升华

构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．

(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过

小时才能开车．(精确到1小时) (2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(

) A．10

B．11

C．13

D．21 答案

(1)5

(2)A 解析

(1)设经过x小时才能开车．

由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，

∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5. (2)设该企业需要更新设备的年数为x，

设备年平均费用为y，

则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，

100＋0.5x＋xx＋1所以x年的平均费用为y＝

x100＝x＋＋1.5，

x100由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2x100x·＋1.5 x100＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，所以选A. x

2．函数应用问题

典例

(12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销400－6x，0

－，x>40.2xx(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

思维点拨

根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论．

规范解答

解

(1)当0

当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40) 40 000＝－－16x＋7 360. x－6x＋384x－40，0

－－16x＋7 360，x>40.x(2)①当0

所以Wmax＝W(32)＝6 104；[6分]

40 000②当x>40时，W＝－－16x＋7 360，

x40 000由于＋16x≥2x40 000×16x＝1 600，

x2

40 000当且仅当＝16x，

x即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，

所以W取最大值为5 760.[10分]

综合①②知，

当x＝32时，W取得最大值6 104万元．[12分]

解函数应用题的一般程序

第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；

第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．

温馨提醒

(1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型．(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．

[方法与技巧]

1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．

2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．

3．解函数应用题的五个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思．

[失误与防范]

1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．

2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．

A组

专项基础训练

(时间：20分钟) 1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是(

) x y 4

15

5

17

6

19

7

21

8

23

9

25

10 27

A．一次函数模型

C．指数函数模型

答案

A 解析

根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．

2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是(

) A．118元

C．106元

答案

D 解析

设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108. 3．(2015·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(

) B．105元

D．108元

B．幂函数模型

D．对数函数模型

答案

A 解析

前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A. 4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为(

) A．85元

C．95元

答案

C 解析

设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．

∴当x＝95时，y最大．

5．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为(

) A．2

C．8

答案

A x解析

由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x)·70·，令104·(100100x－10x)·70·≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值为2. 1006.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为

m. 答案

20 x40－y解析

设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以4040面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0

D．100元

B．6 D．10 (cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过

min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．

答案

16

解析

当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae∴e－8b－8b1＝a，

2111－－－－＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝aebt＝a，ebt＝＝(e8b)3＝e24b，288则t＝24，所以再经过16 min. 8．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预51x8＋(x>0)．则算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝－22x当年广告费投入

万元时，该公司的年利润最大．

答案

4 451x84314x－2(x>0)．当x－＝0，即x＝4时，L取得＋＝－解析

由题意得L＝－22x22xx最大值21.5. 故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．

B组

专项能力提升

(时间：10分钟) 9．有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(

) A．19

B．20

C．21

D．22 答案

C 9n＋19n＋1<10%，得n＋1>－1＝－1≈21.8，解析

操作次数为n时的浓度为，由101092lg 3－1lg 10∴n≥21. 10.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为(

) A．x＝15，y＝12

C．x＝14，y＝10

答案

A 24－yx5解析

由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，

424－8205∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，

4∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15. 11．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝

，经过5小时，1个病毒能繁殖为

B．x＝12，y＝15 D．x＝10，y＝14

个．

答案

2ln 2

1 024 解析

当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2，

当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024. 12．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算. 可以享受折扣优惠金额

不超过500元的部分

超过500元的部分

折扣率

5% 10% 1k2，

某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为

0，01 300.

若y＝30元，则他购物实际所付金额为

元．

答案

1 350 解析

若x＝1 300元，则y＝5%(1 300－800)＝25(元)<30(元)，因此x>1 300. ∴由10%(x－1 300)＋25＝30，

得x＝1 350(元)．