复习参考题教案2

横看成岭侧成峰，远近高低各不同

——含参函数的零点问题

冯立梅

一、

教材分析：

1.教材的地位：含参函数的零点问题是高中数学的一个重点，也是一个难点，对参数如何处理，是在继续研究函数的应用，也是转化与化归思想的典型应用。

2.教学目标：（1）由函数的零点个数求参数的取值范围；

（2）会利用导函数判断函数的单调性；

（3）关注函数的性质；

（4）关注有渐近线的函数。

3.教学重点：含参函数的零点问题的转化。

教学难点：学生有效的思考，抓住特征，识别选取方法。

4.核心素养：吃透“课本”，抓住关键点，关注学生数学素养，加强数学思维的培养。

重难点的突破：

（1）

重视学生的亲身体验；

（2）

重视学生的探究过程；

（3）

重视学生的动手实践；

（4）

重视课堂问题的设计；

二、学情分析：本节课是在学生一轮复习后，对函数有了较深的认识，以知识为平台，为了提升学生的综合能力，进一步巩固含参函数的零点问题，加深学生对含参函数零点的理解。

三、设计的依据：1.元认知的理论2.建构的观点

四、教学理念：与学生一起成长

五、教学方法：探究式教学法

六、学法指导：

为了提高学生的核心素养，本节课为学生提供了4种机会

（1）

提供观察、思考的机会；

（2）

提供操作、尝试、合作的机会；

（3）

提供交流、表达的机会；

（4）

提供成功、感受喜悦的机会。

七、教学手段：微信、玲珑画板、实物投影、多媒体课件。

八、教学过程

预备知识：（课下思考讨论完成）

题组一：对零点的思考（知己知彼，百战不殆）

1.函数零点的概念是什么？

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2.高考中怎样考察函数的零点问题？

3.题型有哪些？

4.零点存在性定理的内容是什么？

5.分段函数的实质是什么？

6.有且仅有一个零点一定是相切吗？（不一定，可以相交）

举例说明：

比如：ylnx与yx

ylnx与y1x

e题组二：关注有渐近线的函数

lnxexx,yxe,y四个函数的大致图像。

画出yxlnx,yxx题组三：函数的性质：对称轴与对称中心

1.若函数f(x)f(x)，则函数f(x)关于 对称

2.若函数f(1x)f(1+x)，则函数f(x)关于 对称

3.若函数f(x)f(2+x)，则函数f(x)关于 对称

4.若函数f(x)2f(x)，则函数f(x)关于 对称

5.若函数f(x)f(x)，则函数f(x)关于 对称

6.若函数f(1x)f(1+x)，则函数f(x)关于 对称

师：含参函数的零点问题是高考的一个高频考点，经常出现在选填题较困难的部分或者是导数的大题部分。今天我们主讲的是选填题部分。下面我们就进入今天的主题：横看成岭侧成峰，远近高低各不同——含参函数的零点问题。

同学们都有哪些方法解决这类问题？

生（全体）：1.直接法

2.分离参数法

3.转化法

师：好！这些方法都是怎样用的呢？下面我们来体验一下

设计目的：复习含参函数的零点问题的解决方法。

ex,x0g(x)f(x)xa，例1.已知函数f(x)若g(x)存在两个零点，则a的取值范围是（ ）

lnx,x0A.1,0 B.0, C.1, D.1, (法一) 直接法

师：微信上传学生的解法。学生讲解。

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ex+xa,x0生1：g(x)f(x)xa=

lnxxa,x0g(x)在,0单调递增，在（0,）单调递增。

画出草图。

设计目的：运用现代化的教学手段，微信上传学生的解答过程，方便快捷。

师：什么时候用直接法？

生2：可大致画出函数的图像。

设计目的：学生总结，养成良好的学习的习惯。

（法二）转化法

师：还有什么方法？

全体学生：可转化成两个函数图像的交点的个数。

师：非常好！现在给同学们准备了一些点和线，如何把它们组合成你需要的图形？

学生上台演示移动的过程：

生3：g(x)0f(x)xa

令h(x)xa

分别画出yf(x)和yh(x)的图像

生3：在直线上下移动的过程中就可以看出交点的个数。

设计目的：学生动手操作，亲身体验。

师：什么时候用转化法？

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生4：可转化成两个函数，进而化成两个函数图像的交点的个数。

yf(x)交点

f(x)g(x)yg(x)设计目的：培养学生良好的学习习惯。

(法三)分离参数法

师：还有什么方法？

全体学生：分离参数法。

生5：g(x)0即f(x)xa=0exx,x0a=lnxx,x0

生5：在直线ya上下移动的过程中，可以看出交点的个数，直线ya过（0,-1）时，是一个临界状态。

此时与ylnxx交于点（1，-1）。

师：观察得非常仔细，很好！

设计目的：学生讲解，展示思维过程。

师：如果你是出题人，你想怎么考？

ex,x0g(x)f(x)xa，若g(x)有且只有1个零点，则a的取值范围是

生6.已知函数f(x)lnx,x0 生6：我想变成有且只有一个零点。

师：能不能变成没有零点？

生6：不能

师：为什么？

生：在直线上下移动的过程中，总有交点。

师：很好！你是一个很仔细的姑娘！

设计目的：学生举一反三，熟练运用。

师：通过例1及变式，你感悟到了什么？

生7：含参函数零点问题的三种解法，零点存在性定理是有零点的保障。

生7：考虑函数的单调性，可以用求导的方法。

师：非常好！

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设计目的：培养学生良好的学习习惯，不断总结。

师：刚才同学们从不同的角度分析了例1，让我们开阔了眼界。

师：我国古代诗人苏轼的《题西林壁》的前两句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”就提到了要从不同的角度，不同的侧面思考问题，下面我们进入例2. 例2.设函数f(x)ae2sinx,x0,有且仅有一个零点，则a的值为（ ）

xA.生8：a=2e4 B.2e-4 C.2e2 D.2e-2

（法一）极值点法

2sinx,x0,

xe2sinx,x0,的图像

本别画出ya与y=xe

设计目的：学生讲解，展示思维过程。

（法二）切点法：设切点(x0,y0)，利用相切的知识。

yaex，yaex

y=2sinx，y=2cosx

y0aex0y0=2sinx0tanx01x0，y02,a2e44

x0ae=2cosx0

设计目的：用玲珑画板展示其过程，帮助学生理解，师生共同分析，探讨知识生成过程。

师：有没有可能是相交呢？

全体学生：那…大家面面相觑，不知怎么办？

师：大家可以试着画一画

同学们纷纷动笔，不一会，一个学生说“不可能”。

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师：为什么？

生9：a0时，y0

a0时，y0

师：非常好！考虑到了函数值的正负，事实上yaex是有渐近线的函数，x轴是它的一条渐近线，无论是a0还是a0都不能跨越x轴。

设计目的：让学生学通，学透, 掌握其本质。

师：总结上述做法

生10：从切点的位置上看，切点在两个曲线上；

从两曲线的关系上看，切点处的导数相等。

设计目的：培养学生良好的学习习惯，不断总结提升。

师：关注特殊点。yaex与y轴的交点坐标(0,a)

只有敢想，会想，想象才有翅膀。

师：还有其它方法吗？

练：已知函数f(x)ax2lnx(a0)有且仅有一个零点，则a的值是

师：分别投影学生的做法，由学生上台讲解。

（法一）切点法

生11：我用的是切点法。

设切点(x0,y0)

yax2y2ax

ylnxy1

x12ax=0x011122yaxy,xe,a

000022ey=lnx00设计目的：给学生提供展示自己的机会。

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（法二）分离参数alnxx2

生12：我用的是分离参数法。

画出ya与ylnxx2的图像

y12lnxx3

0xe时，y0;

xe时，y0;

xe时，y12e。

综上可知：a12e

设计目的：给学生提供展示自己的机会。

师：通过例2及练习，你感悟到了什么？

生13：对有且只有一个交点问题有了更清晰的认识；

生13：更加熟悉了有渐近线的函数；

师：非常好！例2及变式主要是让同学们体会两曲线相切的问题。

请你想一想，“我”有什么性质？

例3.已知函数f(x)x22xa(ex1e1x)有唯一零点，则a的值为（A.12 B.13 C.12 D.1

师：哪位同学可以展示一下？

（法一）生14：f(x)（x1）2aex1e（x1)1

令tx1则g(t)（ft+1）=t2a(etet)1

g(t)(t)2a(etet)1

g(t)为偶函数

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）

f(x)有唯一零点

g(t)也有唯一零点

g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0

2a10

1解得a

2设计的目的：学生独立思考，师生交流，共同进步。

师：还有其它做法吗？

（法二）函数的性质

师：同学们认真观察，发现了什么？

师：能否看出函数有什么性质？知道啥就用啥。

师：识别函数：令（hx)exex偶函数，关于y轴对称

则（hx1)ex1e1x关于直线x1对称

生15：哦，老师，我知道了，零点就是1。

师：为什么？

生15：因为f(x)关于x1对称，若不是1，要么没有零点，要么零点成对出现，所以有且只有一个零点，零点只能是1. 设计目的：不断引导学生，展开思考，完成解答过程。

如果你是出题人，你想怎么考？

全体学生讨论

设计目的：让学生学会交流，合作，在探讨中获得新知。

生16：（1）已知函数f(x)x22x，若函数ya(ex1e1x)与yf(x)的图像有且只有一个交点，则a的值为 生17：（2）已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数yx22x与yf(x)的图像有且只有一个交点，则a的值为 设计目的：学生举一反三，加深理解。

师：好！下面我们继续。

（3）已知函数f(x)x22x，yg(x)(xR)关于x1对称，

请画出满足条件的g(x)图像。

①f(x)与g(x)有且只有一个交点

②f(x)与g(x)有两个交点

③f(x)与g(x)有三个交点

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师：请同学们画出简单的满足题意的图像。

1分钟后学生上台边画边讲解。

生18：画一条简单的直线y1，两图像有且只有一个交点；

将此直线往上移动，比如，y1，两图像有两个交点；

画曲线麦当劳，过点（1，-1），两图像有三个交点。

设计目的：学生动手操作，体会成功的快乐！

（4）已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数yx22x与yf(x)的图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym)则xi=

（ ）

i1mA.0 B.m C.2m D.4m

生19：两个函数均关于x1对称

师：非常好！要发现这一点，需要同学们有一双善于发现的眼睛。

生19：当交点个数为偶数时，S2mm

2m11m

当交点个数为奇数时，S22设计目的：给学生提供观察的机会，让学生善于发现不同。

师：不分类讨论可以吗？

全体学生：利用等差数列的求和公式的方法，倒序相加法

Sx1+x2+x3...+xm

Sxm+xm1+xm2...+x1

2S2m

Sm

师：还有其它方法吗？能不能找一个满足题意的函数f(x)

设计目的：知识的活用。

生20：哦，特殊函数法

师：能举个例子吗？

生20：f(x)1或f(x)(x1)2

思考：数列中的倒序相加法（避免了奇偶项的讨论）

举一个具体的例子（动画），

通过例3及练习，你感悟到了什么？

生21：我们要关注函数的性质，在零点求和中会常用到。

生22：会利用特殊函数会更简单。

师：同学们总结的非常好，这是一组非常漂亮的题，它的漂亮体现在它有独特的性质。我为同学们感受到它的美丽而感到非常自豪。

师：本节课你体会到了什么？收获了什么？

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生23：学会了含参函数零点问题的三种方法。

1.直接法：容易画出函数的大致图像。

2.转化法：化为两个函数f(x)g(x)的交点问题

可分离3.分离参数可求导

可画图4.有且仅有一个零点切点法极值点发

5.关注函数的性质

师：总结的非常全面，我为你点赞！

设计目的：时刻关注提升学生的核心素养。

师：用到的数学思想有哪些？

生24：数形结合，转化与化归，分类讨论，

整体的思想。

设计目的：培养学生的归纳总结能力。

师：好，最后用我喜欢的两句诗与同学们共勉。宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

师：感谢同学们，下课！

九、教学评价：本节课围绕：“层层铺垫自主探索发现规律归纳总结巩固应用”这条主线展开，对教材内容进行优化，通过探究式教学方式，调动学生学习的积极性，培养学生的核心素养。

作业：

21.已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数yx2x3与yf(x)的图像的交点为则(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym)xi=

（ B ）

i1mA.0 B.m C.2m D.4m

2.已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，若函数y1与yf(x)的图像的交点为

x(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym)则(xiyi)=（ A ）

i1mA.0 B.m C.2m D.4m

)若函数y3.已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x，mx+1与yf(x)的图像的交点为x(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym)则(xiyi)（ B ）

i1A.0 B.m C.2m D.4m

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4.若函数f(x)=exax2有三个不同零点，则a的取值范围是（ A ）

A.(e24,) B.(ee2e2,) C.(1，4) D.(1，2)

5.已知函数f(x)=sinxsin3x,x0,2，则f(x)的所有零点之和等于（

C

）

A.5 B.6 C.7 D.8

6.已知函数f(x)=xaex(aR),xR有两个零点，则a的取值范围是(0,1e)

7.已知函数f(x)=ax33x21若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（ B A.(2,) B.(,2) C.(1，+) D.(，1)

8.已知函数f(x)axlnx（a0）有且仅有一个零点，则a的值是（ B ）

A.e B.1e C.e2 D.1e2

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）