习题3.1精品学案

函数与方程复习课 教学设计

鹤山市鹤华中学 高三8班 周凯燕

引言：

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学I必修本（A版）》第三章第一节。复习课内容是通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形。而作为复习课时，从近几年全国卷的高考试题来看，函数的零点、方程的根的问题都是高考的热点，其作用是举足轻重的，它的题型既有选择题、填空题，又有解答题。在考察函数的零点、方程根的基础上，又注重考察转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法。

一、学情分析

教学对象分析：作为高一文科生，运算能力、逻辑能力、抽象归纳能力处在中低等程度的学生占大多数，程度较高的学生占少数。

知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，加上高三一轮前面内容的复习与不定时的回顾练习，学生应该有较好的基础对于基本初等函数的根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题．这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如简单的复合函数），一般的高次方程也还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的函数和相应的方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系，以便学生能够在解决具体题目时灵活应用。

二、设计思想

教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，学会将知识方法应用于解题，从而体验到数学学习的成就感。

教学原则：注重各个层面的学生。

教学方法：三学一导、精讲多练。

教学流程：课前预习：知识回顾

考点分析：重温经典

课前热身：能力小测

课后学习：反思归纳。

课堂学习：问题探究

三、教学目标

1.知识与技能：

①回顾复习函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件；

②培养学生的观察能力；

③培养学生的抽象概括能力。

2.过程与方法：

①通过观察函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；

②让学生归纳整理本节所学知识。

3.情感、态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。

四、教学重点、难点

重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

五、教学过程设计

1．指导学生进行课前学习

预习教辅资料的相关知识点，完成部分基础题，如：

1．零点：使 的实数x。

2．方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与 有交点函数yf(x)有 。

3．函数零点存在结论：

如果函数yf(x)的图象在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c ，使得 ，这个c也就是方程f(x)0的根。

4．已知yx2ax3有一个零点为2，则a的值是___ _______。

2．指导学生进行课堂学习

（1）课前热身：

1.函数f(x)x(x216)的零点为( ) A. (0,0),(4,0) B.0,4 C. (–4,0),(0,0),(4,0) D.–4,0,4 2.函数 f(x)2x3x的零点所在的一个区间是( ) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 3.

已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

x

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

23

9

–7

11

–5

–12

–26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有_________个。

（2）问题探究：

【定义】函数零点的概念：

对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。

【分析】函数零点的意义：

y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

【定理】如果y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

【分析】1 .下面两图中对应的函数都满足以下条件：

⑴y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线；⑵f(a)·f(b)<0。

①函数y=f(x)在区间(a,b)内有一个零点。

②函数y=f(x)在区间(a,b)内有多个零点。

2．反例说明：

①若函数满足f(a)·f(b)<0，但在[a,b]上的图象不连续，可能出现以下情形：

②函数在[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，但不满足f(a)·f(b)<0,

可能出现以下情形：

（3）考点讲练：

考点一：确定函数零点的区间

2例1：函数f（x）=ln（x+1）—的零点所在的大致区间（ ）

x

A （0，1） B （1,2） C （2，e） D（3,4）

2

变式：方程

ln（x+1）=的一个根所在的大致区间（ ）x

A （0，1） B （1,2） C （2，e） D（3,4）

例2：若a

的两个零点分别位于区间(

)

A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

考点二：确定函数零点的个数

x2－1，x≤1，

例3：(2015.全国卷)函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(

)

1＋logx，x＞1，2

11A.，0 B．－2，0 C. D．0

22

(回归课本典例)讨论：

求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。

x例4：函数f(x)2（log0.5x）1的零点个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

方法感悟：求函数零点个数的方法：

1、直接求出方程根的个数；

2、利用函数零点存在性定理，结合函数的单调性，对称性，奇偶性等；

3、构造两个函数分别作出图象，求出交点的个数。

考点三：函数零点的综合问题

例5 : (1)若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，求实数a的值；

(2)若函数f(x)|x24x|a有4个零点，求实数a的取值范围。

思路分析：(1)二次项系数含有字母，分类讨论即可。

(2)利用函数图象求解。

（4）课堂小结：

①零点概念；

②零点存在性的判断；

③零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间。

判断函数零点个数的方法：

(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合

函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。

（5）作业回馈: 思考：总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？

六、板书设计

函数与方程复习课

一、函数零点的定义：

屏幕

对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．

二、零点存在性定理：

需要注意的几个问题

三、几个考点的方法小结：

附加：课后作业

（一）.选择题

11.函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(

) x

11A.0， B.，1 C．(1，2) D．(2，3) 22

22.y＝f（x）的周颀伟2，当[-1,1]时，f（x）=x，那么函数y=lgx的图像的交点的个数（

）

A.10

B. 9

C. 8

D. 1

x＋1，x≤0，

3.已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋1的零点个数是(

) logx，x＞0，

2

A．4 B．3 C．2 D．1

（二）.填空题

4..函数y＝|x|－cos x在(－∞，＋∞)内有________个零点．

x2－1，x＞0，

5.已知函数f(x)＝2若函数y＝f(x)－m有3个不同的零点，则实数m的取－x－2x，x≤0，

值范围是________；

x6.函数f(x)＝xe－a有两个零点，则实数a的取值范围是__________________．