2.2.2 函数的奇偶性课件配套优秀教案设计

1.3.2

奇偶性

教学目标：

1．结合具体函数了解函数奇偶性的含义．(难点) 2．会判断函数奇偶性的方法．(重点、难点) 3．能运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易混点)

[基础·初探]

教材整理1

偶函数

阅读教材P33～P34“观察”以上部分，完成下列问题．

条件

结论

图象特征

偶函数

对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x) 函数f(x)叫做偶函数

偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数.

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图1-3-4所示，请补出完整函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)的增区间．

图1-3-4 【解】

由题意做出函数图象如下：

据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．

教材整理2

奇函数

阅读教材P34“观察”至P35“例5”以上部分，完成下列问题．

条件

结论

图象特征

奇函数

对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) 函数f(x)叫做奇函数

奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(

) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(

) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(

) 【解析】

(1)×.如f(x)＝x2，满足f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数．

(2)×.存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数．

(3)×.函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，也不是偶函数．

【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

[小组合作型] 题型一：奇偶函数的判定

给出以下结论：

①f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数；

1－x2②g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数；

|x＋2|－2③F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数；

④h(x)＝x2－1＋1－x2既是奇函数，又是偶函数．其中正确的序号是________．

【精彩点拨】

先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断．

【自主解答】

对于①，∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，

∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数，①正确；

1－x21－x21－x2对于②，由1－x≥0，得－1≤x≤1，∴g(x)＝＝＝x，满足g(－x)|x＋2|－2x＋2－22＝－g(x)，故y＝g(x)是奇函数，②错误；

对于③，∵F(x)＝f(x)f(－x)，∴F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)(x∈R)，∴F(x)＝f(x)f(－x)是偶函数，③正确；

2x－1≥0，对于④，由解得x＝±1，故函数h(x)的定义域为{－1,1}，且h(x)＝0，所以21－x≥0，

h(x)既是奇函数，又是偶函数，④正确．

【答案】

①③④

归纳总结：

定义法判断函数奇偶性的步骤

[再练一题]

1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)【导学号：97030060】

1(1)f(x)＝x3；(2)f(x)＝|x|＋1；(3)f(x)＝x2；

1(4)f(x)＝x＋x；(5)f(x)＝x2，x∈[－1,2]．

【解析】

对于(1)，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；

对于(2)，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；

对于(3)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝112＝2＝f(x)，则为偶函数；

－xx1对于(4)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－x＝－f(x)，则为奇函数；

对于(5)，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．

故为偶函数的是(2)(3)．

【答案】

(2)(3)

题型二：利用函数的奇偶性求函数值或参数值

(1)若函数f(x)＝x为奇函数，则a＝(

) 2x＋1x－a123A.2

B.3

C.4

D．1 (2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8且f(－2)＝10，那么f(2)＝________. 【精彩点拨】

(1)利用奇函数的定义得到f(－1)＝－f(1)，列出方程求出a；

(2)由已知中f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，我们构造出函数g(x)＝f(x)＋8，由函数奇偶性的性质，可得g(x)为奇函数，由f(－2)＝10，我们逐次求出g(－2)、g(2)，可求f(2)．

【自主解答】

(1)∵f(x)为奇函数，

∴f(－1)＝－f(1)，

∴11＝，

1＋a31－a1∴1＋a＝3(1－a)，解得a＝2，故选A. (2)∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，

∵f(－2)＝10，∴g(－2)＝10＋8＝18，∴g(2)＝－18，

∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 【答案】

(1)A

(2)－26 归纳总结：

1．由函数的奇偶性求参数应关注两点

(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．

(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．

2．利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此．

[再练一题]

2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________. 【解析】

由于f(x)是偶函数，由题意可知

a－1＋2a＝0，11∴a＝3，b＝0

【答案】

3

0 b＝0，

题型三：利用奇偶性求函数的解析式

函数f(x)在R上为奇函数，当x＞0时，f(x)＝x＋1，求f(x)的解析式．

【精彩点拨】

设x＜0，则－x＞0，结合f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，可求f(x)．

【自主解答】

设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝－x＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即－f(x)＝－x＋1，∴f(x)＝－－x－1. ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，

1＋x，x>0，∴f(x)＝0，x＝0，－－x－1，x<0.归纳总结：

利用奇偶性求函数解析式的一般步骤

1．在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间．

2．把x对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入．

3．利用函数的奇偶性把f(－x)改写成－f(x)或f(x)，从而求出f(x)．

[再练一题]

3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，则当x＜0时，f(x)的表达式为(

) A．f(x)＝x(x－2)

C．f(x)＝－x(x－2)

B．f(x)＝x(x＋2) D．f(x)＝－x(x＋2) 【解析】

∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．∵当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，

∴当x＜0时，即－x＞0，f(x)＝－f(－x) ＝－[－x(－x－2)]＝－x(x＋2)．故选D. 【答案】

D

[探究共研型]

题型四：函数奇偶性与单调性的综合应用

探究1

如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？

如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？

【提示】

如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．

探究2

你能否把探究1所得出的结论用一句话概括出来？

【提示】

奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．

探究3

若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？

【提示】

f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.

(1)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则当n∈N*时，有(

) A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)

B．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1) C．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)

D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n) (2)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，其图象关于原点对称，且f(1－a)＋f(1－2a)＜0，则a的取值范围是________．

【精彩点拨】

(1)根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可．

(2)由于y＝f(x)在定义域(－1,1)上，其图象关于原点对称，可得函数f(x)是奇函数．再利用单调性即可得出．

【自主解答】

(1)∵对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，

∴若x2－x1＞0，则f(x2)－f(x1)＞0，即x2＞x1，则f(x2)＞f(x1)，

若x2－x1＜0，则f(x2)－f(x1)＜0，即x2＜x1，则f(x2)＜f(x1)，则函数在(－∞，0]上为单调递增函数．又∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴函数f(x)在[0，＋∞)上为单调递减函数，则f(n＋1)＜f(n)＜f(n－1)，即f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)，故选B. (2)∵y＝f(x)在定义域(－1,1)上，其图象关于原点对称，∴函数f(x)是奇函数．

∵f(1－a)＋f(1－2a)＜0，∴f(1－a)＜－f(1－2a)＝f(2a－1)，

2又y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，∴1＞1－a＞2a－1＞－1，解得0

2∴a的取值范围是0

(1)B

(2)

3

归纳总结：

1．利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题，要首先弄清函数在各区间上的单调性，然后利用单调性列出不等式并求解，同时不应忘记函数自身定义域对参数的影响．

2．利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较．

[再练一题]

4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(

) 【导学号：97030062】

A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3) C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3) 【解析】

由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，

∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A. 【答案】

A

1．下列函数是偶函数的是(

)

A．f(x)＝x

C．f(x)＝x

B．f(x)＝2x2－3 D．f(x)＝x2，x∈(－1,1] 【解析】

对于A，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不对称，则不是偶函数，故选B. 【答案】

B

2．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(

) A．(－∞，0]

C．(－∞，＋∞)

B．[0，＋∞) D．[1，＋∞) 【解析】

因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．

【答案】

A

3．若奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是(

)

A．增函数且最小值是－1

B．增函数且最大值是－1 C．减函数且最大值是－1

D．减函数且最小值是－1 【解析】

∵奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是－1. 【答案】

C 4．如图1-3-5，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(3)＝0，则不等式f(x)＜0的解集为________．

图1-3-5 【解析】

画出函数f(x)在R上的简图，如图所示．

数形结合可得不等式f(x)＜0的解集为(－3,0)∪(0,3)．

【答案】

(－3,0)∪(0,3) 5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x2－x. (1)求f(x)的表达式；

(2)画出f(x)的图象．

【解】

(1)当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，则f(0)＝0；当x<0时，即－x>0，函数f(x)是奇函数，

则f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)2－(－x)]＝－(2x2＋x)＝－2x2－x. 综上所述，f(x)＝0，x＝0，－2x2－x，x<0.(2)函数f(x)的图象如图所示．

2x2－x，x>0，