3.3 幂函数教学实录与评析

幂函数（1）教案

【教学目标】

【知识与技能】

1.

理解幂函数的概念.

2.

通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.

【过程与方法】

通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法. 【情感、态度价值观】

1.

进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法. 2.

体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质. 3.

通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点. 【重点难点】

重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．

难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质. 【突破方式】

教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆. 【教学策略】

【教学顺序】

复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质. 【教学方法与手段】

1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.

2．利用投影仪及计算机辅助教学. 超级链接到课件3.3幂函数（1）（个人独立制作）

【教学过程】

创设情境

前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员. 请大家看如下问题. 请将下列问题中的y表示成x的函数. 1.

已知某产品年销售量为1万件，预计年销售增长率为5%，求x年后销售量y

2.

如果正方体的边长为x，那么正方体的体积y=

x3

;

3.

如果一个正方形场地的面积为x，那么这个正方形场地的边长1 y=x12; 4.

某人在x s内匀速行进了1km，那么他的速度y是

x -1

km/s

（板书：yx,yx2,yx3,yx,yx1,.）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成yxa的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数）

探究新知

幂函数的定义（形式定义）

一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中是常数. 自变量x是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数. 请同学们举出一个具体的幂函数. 从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 课堂练习

1．指出下列函数中的幂函数. 12y1,yx2x,yx2,yx5,y5x.

2x探究新知

按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数. yx,yx2,yx3,yx,yx1,yx2.

请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数yx与yx2的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时间关系，分四组）

根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题：

1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线）

2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致；

3.讨论在画图象过程中出现的问题；

4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质. 通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势.

首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）. （一边分析函数图象的特征，一边总结函数性质，填写表格.）

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

12yx

R R 奇函数

递增

3yx

R [0，+∞）

偶函数

（-∞，0）减

（0，+∞）增

2yx

R R 奇函数

递增

yx

[0，+∞）

[0，+∞）

非奇非偶

[0，+∞）增

（1，1）

12yx1

yx2

x|x0

y|y0

奇函数

（-∞，0）减

（0，+∞）减

x|x0

（0，+∞）

偶函数

（-∞，0）增

（0，+∞）减

从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这6个幂函数的共性？

2

定义域不同，但有公共区间（0，+∞）.

为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图象……）

总结性质

虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这6个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）. 注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当0时的函数图象，（演示几何画板，隐藏0时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间[0,)上是增函数．

再来观察当0时的函数图象，（演示几何画板，显示0时图象，隐藏0时图象）幂函数在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当自变量x取值从右边趋于0时，图象在y轴右方无限地靠近y轴，但不与y轴相交，当自变量x取值趋于时，图象在x轴上方无限地靠近x轴，但不与x轴相交．

演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数0时，幂函数都过原点，在[0,)上是增函数；当幂指数0时，在(0,)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于0时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．

性质总结如下：

0

0

在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；

在[0,)上是增函数

在(0,)上是减函数

图象过原点

在第一象限内，当x从右边趋向于0时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．

下面我们应用幂函数的性质来解决问题. 例题解析

例1

比较下列两个代数式值的大小：

(1)2.3,2.4;(2)(2),(3)

34343232;(3)(a1),a;(4)(2a),2.

3 1.51.522323

分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题. （1）解：考察幂函数yx，因为yx在（0，+∞）上单调递增，而且2.3<2.4,所以

34342.32.4. 以下各题同理可解：(2)(2)23323434(3)32;(3)(a1)1.5a;(4)(2a)1.52232.

23例2 讨论函数yx的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．

解：要使yx3x2有意义，x可以取任意实数，

故函数定义域为R．

∵f（－x）＝(x)x＝f（x），

∴函数yx是偶函数；

x 0 1 yx

0 1 其图象如右图所示．

23232323232 1.59 3 2.08 4 2.52 …

…

幂函数yx在［0，＋）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．

思考与讨论

幂函数yx(R)，当1,3,5,,（正奇数）时，函数有哪些性质？

（演示画板）定义域为R，值域为R，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数. 当2,4,6,,（正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论. 课堂练习

2．幂函数yx的单调递增区间是________.答案：0,

3．a1.2,b0.9121234,c1.1的大小关系是________.答案a>b>c

12归纳小结

本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法.

布置作业

作出函数yx的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明. 通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示e——泰勒公式.

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