2.2.1 函数的单调性第二课时教学实录

1.3.1

函数的单调性

教学目标

知识与技能：理解函数单调性，单调区间的概念，掌握证明函数单调性的方法和步骤。

过程与方法：通过观察图像，归纳，概括出函数的单调性等概念，能用数学单调性解决简单问题，使学生领会数形结合的思想，培养学生提出问题，分析问题以及数学表达的能力

情感态度与价值观：通过对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考，逐步认识数学的科学价值和应用价值，提高数学学习兴趣，树立学好数学的信心。

教学重点：函数单调性的概念的理解

教学难点：判断和证明函数单调性的方法

教学过程：

一、复习引入

列表画出下列两个函数的图像

y=x

y=x2

x f(x)=x

f(x)=x2

图像分别如下

-2 -2 4 -1 -1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 4 y=x24y=x42211-2-11-1-212-2-112

观察表格，图像，找出x与y之间的关系

（1）f(x) = x

1

从左至右图象上升还是下降

______? ○2

在区间

____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着

________ ．

○（2）f(x) = x

1在区间

____________ 上，

○2f(x)的值随着x的增大而

________ ．

2

在区间

____________ 上，f(x)的值随着x的增大而

________ ．

○二、探究新知

1、

如函数f(x) = x在（0，+∞）上，y随着x的增大而增大，在区间（0，+∞）上，2任取两个x1，x2，得到f(x1)=x12

f(x2)=x22，x1

2、增函数的严格定义：一般地，设函数的f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

3、注意：○1

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

○2

必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

相应的由学生给出减函数的定义

一般地，设函数的f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数在f(x)在区

间D上是减函数

可以通过以下图像比较直观的理解

在区间I内

在区间I内

图象

图象从左至右，图象上升

特征

数量

特征

4、函数单调性的定义：

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一y随x的增大而增大

当x1＜x2时，

f(x1) < f(x2)

y随x的增大而减小

当x1＜x2时，

f(x1) > f(x2)

从左至右，图象下降

区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间

三、例题讲解

例1

如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数yf(x)的图象，根据图象说出yf(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数yf(x)是增函数还是减函数.

y-5-2O135x

解：函数yf(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中yf(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数. 例2 物理学中的玻意耳定律P=k（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其V体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。

k在区间（0，+∞）上是减函数即可。

V分析：按题意，只要证明函数P=判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①

任取x1，x2∈D，且x1

②

作差f(x1)－f(x2)，或作商

③变形（通常是因式分解和配方）；

f(x)f(x)12f(x)x

)④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负或

f

(

与

1

的大小关系）

12⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）

四、巩固练习

课本32页练习2、3、4

五、小结

函数单调性的概

判断函数单调性的方法和步骤