3.1.2 指数函数PPT及课堂实录内容

指数函数的图象及其性质

盐城市大冈中学 徐崇明

一、

教学内容分析

本节课是必修1（苏教版）第三章第一节第二课（3.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。

指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。

二、

学生学习况情分析

指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

三、设计思想

1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学***多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

2.结合参加我校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施中同伴合作和师生互动研究》的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点：

⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

四、教学目标

根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

五、教学重点与难点

教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

六、教学过程：

（一）创设情景、提出问题(约3分钟) 师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？

学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。

师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？

【学情预设：学生可能说很多或能算出具体数目】

师：大家能否估计一下，51号同学该准备的米有多重？

教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨。

师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨。这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！

【设计意图：用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。】

在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？

学生很容易得出y=2x（xN）和y2x（xN）

【学情预设：学生可能会漏掉x的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x的范围。】

（二）师生互动、探究新知

1．指数函数的定义

师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与y2x类似的关系式y1.073x（xN,x20）

⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：（约3分钟）

①y2x（xN）和y1.073x（xN,x20）这两个解析式有什么共同特征？

②它们能否构成函数？

③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？

【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现y2x，y1.073x是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】

引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

师：如果可以用字母a代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成yax的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。

⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。（约6分钟）

对于底数的分类，可将问题分解为：

①若a0会有什么问题？（如a2，x不存在）

②若

③若

要.）

师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定

在这里要注意生生之间、师生之间的对话。

【学情预设：

①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a0，且a1；a1为什么不行？

②若学生只给出yax，教师可以引导学生通过类比一次函数k（ykxb,k0）、反比例函数（y,k0）、二次函数x（yax2bxc,a0）中的限制条件，

思考指数函数中底数的限制条件。】 【设计意图

：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；

②讨论出a0，且a1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】

且

. 会有什么问题？（对于x0

，ax都无意义）

又会怎么样？（无论

取何值,它总是1,对它没有研究的必1则在实数范围内相应的函数值2

接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y23x，

y32x，y2x。【学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其它的。】

【设计意图

：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】

2．指数函数性质

⑴提出两个问题（约3分钟）

①目前研究函数一般可以包括哪些方面；

【设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。】

②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？

可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手（即底数取一些数值）；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。

【设计意图：①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)不同的角度对函数进行研究；

②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透。】

⑵分组活动，合作学习（约8分钟）

师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。

①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；

②每一大组再分为若干合作小组（建议4人一小组）；

③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。

【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导。】

【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解。】

⑶交流、总结（约10～12分钟）

师：下面我们开一个成果展示会! 教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。

教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求

学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其它性质？

师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一1些有价值的副产品呢？（如过定点（0，1），yax与y()x的图象关于y轴对a称）

【学情预设：

①首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报；

②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；

③问其它小组有没不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化。】

【设计意图：

①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。 ②让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；

③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。】

师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1），但定义域、值域却不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到。

教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪yax的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。 师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。

图

象

0

a>1

定义域 值

域

性

过定点（0，1）

R

非奇非偶

在R上是减函数

（三）巩固训练、提升总结（约8分钟）

质

在R上是增函数

1．例：已知指数函数f(x)ax(a0,且a1)的图象经过点(3,)，求f(0),f(1),f(3)的值。

解：因为f(x)ax的图象经过点(3,)，所以f(3)

即a3，解得a，于是f(3)。

所以f(0)1,f(1)3,f(3)113x3。

【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】

师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？

师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了。

【设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。】

12．练习：⑴在同一平面直角坐标系中画出y3x和y()x的大致图象，3并说出这两个函数的性质；

⑵求下列函数的定义域：①y2x21，②y()x。

213．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？

【学情预设：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。】

【设计意图：①让学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

②总结本节课中所用到的数学思想方法。

③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。】

4．作业：课本67页练习题

七、教学反思

1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究

中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。

2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响。

3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。

点评：

本节是指数函数及其性质概念课，胡老师在教学设计中，让人印象深刻的是以学生为主体，注重学法指导，重视新旧知识的契合，关注知识的类比，学习方法的迁移。胡老师能够抓住学生的好奇心，将娱乐“计算米粒”与数学有机地结合在一起，提高了学生学习本节知识的兴趣。在观察“准备米粒”得到y2n和章开头y1.073x（xN,x20）函数关系式后，巧妙而不失时机地引导学生从具体问题中抽象出数学模型yax，发现指数在变化，这与以前所学函数（一次函数、二次函数、反比例函数）都不一样，把变化的量用x表示，不变的量用a表示；通过让学生给函数命名，举几个指数函数例子这个小环节，增强学生对指数函数本质的理解，激发学习兴趣，概念的得到可谓“润物细无声”。接着，胡老师在设计中还注重对学生探索能力的培养，让学生类比一次函数（ykxb,k0）、反比例函数（yk,k0）、二次函数x（yax2bxc,a0）中的限制条件，给出指数函数的定义及底数a的取值范围。

在研究指数函数的性质时，胡老师能够紧扣第一章的函数知识，让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。通过提问的方法，让学生明白研究函数可以从图象和解析式这两个不同的角度进行出发，将学生的注意力引向本节的第二个知识点——图象及其性质。设计中将学生进行分组，通过学生的自主探究、合作学习，侧重对解析式、作图象探索。学生的上台报告，老师借助几何画板的直观图形，以形助数，以数定形，数形结合的数学方法，收到了较好的研究效果。

对数的概念

盐城市大冈中学 徐崇明

一、教学内容分析

本节课是必修一苏教版第三章第二节第一课时，也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

二、学生学习情况分析

现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。

三、设计思想

学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

四、教学目标

1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。

2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。

3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。

4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。

五、教学重点与难点

重点

：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。

难点

：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。

六、教学过程设计

教学环节

教学程序及设计

引例（3分钟）

1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。

（1）取5次，还有多长？

（2）取多少次，还有0.125尺? 分析: (1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得设计意图

创

设

情

境

引

入

新 课

125x1

321(2)可设取x次,则有

0.125 21 抽象出: 0.1252xx?

2、2002年我国GPD为a亿元，如果每年平均增

长8%，那么经过多少年GPD是2002年的2倍？

x(18%)2

分析:设经过x年,则有x(18%)2x?

抽象出: 让学生根据题意，设未知数，列出方程。这两个例子都出现指数是未知数x的情况，让学生思考如何表示x，激发其对对数的兴趣，培养学生的探究意识。生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的。

正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定作准备。同时注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误。

一、对数的概念（3分钟）

一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N, 就是a =N 那么数 b叫做 a为底 N的对数,记作blogaNb，a叫做对数的底数,N叫做真数。

注意：①底数的限制:a>0且a≠1 ②对数的书写格式

logaN

讲

授

新

课

二、对数式与指数式的互化：（5分钟）

幂底数 ← a →

对数底数

指数 ← b → 对数

幂 ← N → 真数

思考：

①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？ ②是否是所有的实数都有对数呢？

负数和零没有对数

让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a、

b和N位置的不同，及它们的含义。互化体现了等价转化这个重要的数学思想。

三、两个重要对数（2分钟）

①常用对数：

以10为底的对数log10N,简记为: lgN ②自然对数：

以无理数e=2.71828…为底的对数的对数logeN

简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的对数) 注意：两个重要对数的书写

课堂练习（7分钟）

1 将下列指数式写成对数式：

（1）24

这两个重要对数一定要掌握，为以后的解题以及换底公式做准备。

16 （2）33b1 271a（3）520 （4）0.45

22 将下列对数式写成指数式：

（1）log51253 （2）log132 （3）log10a1.069

3 求下列各式的值：

（1）log264 （2）log927

3

本练习让学生独立阅读课本P69例1和例2后思考完成，从而熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数的概念的理解。并要求学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题。培养学生严谨的思维品质。

讲

授新

课

讲

授

新

课

讲

授

新课

四、对数的性质（12分钟）

探究活动1 求下列各式的值：

（1）log31 0 （2）lg1 0 （3）log0.51 0 （4）ln1 0 思考：你发现了什么？

“1”的对数等于零，即loga10 类比：

a01

探究活动2 求下列各式的值：

（1）log33 1 （2）lg10 1 （3）log0.50.5 1 （4）lne 1 思考：你发现了什么？

底数的对数等于“1”，即logaa1 类比：

a1a

探究活动3 求下列各式的值：

log23 3 （2）7log70.6（1）2log0.4890.4 89 （3）思考:你发现了什么?  0.6 logaNaN

对数恒等式:探究活动4 求下列各式的值: 54log0.9log3(1) 4 (2)0.938(3)lne 8 思考:你发现了什么? n对数恒等式:logaan

探究活动由学生独立完成后，通过思考，然后分小组进行讨论，最后得出结论。通过练习与讨论的方式,让学生自己得出结论,从而更能好地理解和掌握对数的性质。培养学生类比、分析、归纳的能力。最后，将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质。  5

讲

授

新

课

负数和零没有对数

小 “1”的对数等于零，即loga10

底数的对数等于“1”，即logaa1

logN结 对数恒等式:aaN

n对数恒等式:logaan

将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质。

巩

固

练

习

（10分钟）

1、课本P70 练习 2、提高训练

(1)已知x满足等式log5log3(log2x)0，求log16x值

（2）求值：log2.56.25lg1lne

100巩固指数式与对数式的互化，巩固对数的基本性质及其应用。

（3分钟）

1、

引入对数的必要性----对数的概念

一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,就是

归

纳

小

结

强

化

思

想

总结是一堂课内容的概ba=N，那么数b叫做以a为底，N的对数。记作

括，有利于学生系统地logaNb

掌握所学内2 、指数与对数的关系

容。同时，将本节内容纳入已有的知识系统中，发挥承上启下的作用。为下一

课时对数的运算打下扎3、对数的基本性质

实的基础。

负数和零没有对数

loga10 logaa1

对数恒等式:

alogaNN 作业是学生信息的反馈，教师可以在作业中发现学生在学习中存在的问题，弥补教学中的不足。

logaann

一、课本P82 习题2.2 A组

第1、2题

3x2ylog2x,log3y二、已知，求a的aa作业布置

值

三、求下列各式的值：

2 2log9512log343 3

2

2log25log23

§2.2.1 对数的概念

板书设计

引例1 引例2 一、对数的定义

二、对数式与指数式的互化

练习

三、对数的基本性质

四、小结

五、作业布置

七、教学反思

本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握。

点评：

对数概念是高中数学课程的重要内容。本文目标的制订具体、适宜，且明确地体现在每一教学环节中，教学思路设计符合教学内容实际和学生实际，层次脉络较清晰。强调对数的概念的理解，对数式与指数式的相互转化，对书写规格等做了要求，有利于学生作业的规范化，培养学生严谨的思维品质。高中新课程在教学方面所倡导的新的教学理念，对于促进课堂教学中学生学习方式的变革起到了巨大作用。然而，这些理念在指导我们重建课堂教学时也表现出限定的有效性。只有对此有客观和充分的认识，我们才不至于生搬硬套，适得其反，从一个极端走向另一个极端。教无定法，重在得法，只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，达到课堂教学的效果，都应该是好的教学方法。