2.1.1 函数的概念和图象教学实录及点评

句容三中2018—2019学年度第一学期高三数学教学案（理）

导数

第2份

总第9份

2018-07-02 利用导数研究函数的性质（1）

编写： 许成荣 审核： 许成荣 行政审查： 张春 【教学目标】掌握利用导数判断函数单调性的方法，会从几何直观理解函数的单调性与其导数关系． 【教学重点】利用导数研究函数的单调性和极值．

【教学难点】理解用导数解决函数的单调性与极值，体会导数的工具作用．

【教学过程】

一、知识梳理：

1．用导数研究函数的单调性：

对于函数yf(x)，如果在区间(a,b)上

，那么f(x)为该区间上的增函数；

如果在区间(a,b)上

，那么f(x)为该区间上的减函数．

2．用导数求函数单调区间的基本步骤：

①确定函数的定义域，求函数f(x)的导数f(x)；

②令f(x)0解不等式，解得x的范围就是函数的递增区间；

③令f(x)0解不等式，解得x的范围就是函数的递减区间．

3．函数的极值：

设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个________；如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个_________；极大值与极小值统称为_________．

4．对函数yf(x)，判断f(x0)(f'(x0)0)是否为极大（小）值的方法是：

（1）如果在错误！未找到引用源。附近的左侧___________，右侧____________，那么f(x0)是极

值；

（2）如果在x0附近的左侧___________，右侧____________，那么f(x0)是极________值；

（3）如果f'(x)在点x0的左右两侧符号相同，则f(x0)___

___函数f(x)的极值．

5．f'(x0)0是x0为极值点的

条件．

二、基础自测：

1．函数yxlnx的单调减区间为

；增区间为

．

2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是______________．

3．函数f(x)x3x1在x 处取得极小值.

4．若函数f(x)kxlnx在区间(1,)单调递增，则k的取值范围是

．

5．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_____________．

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三、典型例题：

xa3例1．已知函数f(x)lnx，其中aR，且曲线yf(x)在点(1,f(1))处的

4x21切线垂直于直线yx．

2（1）求a的值；

（2）求函数f(x)的单调区间．

23例2．已知函数f(x)ax1(a0)，g(x)xbx(bR)．

（1）若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；

（2）当a4b时，求函数h(x)f(x)g(x)的单调区间．

【变式拓展】已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)．

（1）当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；

（2）当a>0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．

a例3．已知函数f(x)＝x－1＋x(a∈R，e为自然对数的底数)．

e（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求函数f(x)的极值．

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1【变式拓展】设a为实数，已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x. 3（1）当a＝1时，求函数f(x)的极值；

（2）若方程f(x)＝0有三个不等实数根，求实数a的取值范围．

四、课堂反馈：

1．函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是

．

2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝________．

3．若函数fxmx2lnx2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是

．

4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于________．

利用导数研究函数的性质（1）课后作业

班级： 姓名： 成绩： 1．函数y＝x－ln x，x∈(0，＋∞)的单调减区间为____________．

2．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图像在x＝1处的切线平行于直线

6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．

3．函数yexsinx在(,)内的单调递减区间是

．

4．若函数f(x)x6bx3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是

．

5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)图像的是________．(填写序号) 3

6．已知函数f(x)kx33(k1)x2k21(k0)，若f(x)的单调减区间是(0,4)，则k的值是

．

7．已知函数f(x)e(xax1)在区间1,2上不是单调函数，则a的范围为 ．

x28．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，

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1b＝f2，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为______________．

29．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′3. （1）求a的值；

（2）求函数f(x)的单调区间；

（3）设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．

10．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x. （1）若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．

11．现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm3)（1）求出x与y的关系式；（2）求该铁皮盒体积V的最大值．

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作业评价： ．

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