习题1.2教案推荐

高中数学必修一·习题1.2

（一）本节要点小结

1. 函数的概念

非空数集A到B的对应，记作f : A→B，该对应满足：A中任意数x唯一确定的对应B中的数y，y可写作f(x)，即yf(x),xA，称为A到B的一个的函数. 上述函数的对应，可“一对一”，可“多对一”，不可“一对多”.

2. 函数的三要素及其求解

上述函数的概念中，数集A是自变量x的取值范围，称为函数yf(x),xA的定义域；数集f(x)xA是函数值y的取值范围，称为函数yf(x),xA的值域，则f(x)xA

B，即值域是B的子集；f表示x→y的对应关系，f可能是关系式，也可能是图形或表格. 求函数的定义域，即求解使得函数有意义的自变量满足的所有关系：①分式的分母不等于零；②偶次根式的被开方数大于或等于零；③零次幂的底数不等于零；④其它代数式（如对数式，正切式），后续学习过再补充上；⑤已知f(x)的定义域为A，则函数fg(x)的定义为g(x)A的x的解集；⑥实际具体问题，实际考虑. 求函数的解析式，主要有以下求法：①待定系数法（已知函数的类型）；②换元法（已知fg(x)，求f(x)）；③消元法（已知f(x)与f(x)或1的方程）

f(x)至于函数值域的求解，不同形式的函数有不同的求解方法和过程，需要在具体研究函数的性质以后，在确定如何得到对应函数的值域，本节不做深入探讨. 只有当两个函数的三要素全部相同时，两个函数才相等；又函数的值域可以由其定义域和对应关系唯一确定，因此，只需确定两个函数的定义域和解析式是否相同，即可确定两个函数是否相等.

3. 函数的表示法

函数的表示法有：解析式法、图象法、表格法；其中函数的解析式和函数的图象是重点探讨对象. 函数解析式的求法在上述要点中已有总结；函数的图象是研究函数的性质的重要工具，在后续章节的学习中，各种基本初等函数的图象会一一深入研究.

4. 分段函数与绝对值函数的图象

理解好分段函数的概念，及分段函数的定义域、解析式和值域；重点探讨一种非常特殊的分段函数——带绝对值的函数，掌握yf(x)和yf(x)的图象分别与函数yf(x)的图象的联系与区别，并能熟练作图. 分段函数是函数在不同自变量范围内有不同的对应关系，表现为用不相同的式子在各自的对应范围内表示所有函数关系，其定义域是各段自变量取值集合的并集；其值域是亦是各段函数值范围的并集；所有对应关系合在一起是一个函数.

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yf(x)f(x),f(x)0，函数yf(x)的图象是函数yf(x)其f(x)0的部分保f(x),f(x)0持不变，f(x)0的部分关于x轴翻转；yf(x)f(x),x0，函数yf(x)的图象是f(x),x0函数yf(x)在y轴右侧的部分保持不变，y轴左侧的部分关于右侧对称复制.

5. 函数与映射

了解函数与映射在概念上的联系与区别：映射是函数概念是的拓展（由数集到数集的对应拓展为一般集合间的对应），即函数是建立在数集上的特殊映射.

（二）习题解析

A组

1. 求下列函数的定义域：

（1）f(x)3x；（2）f(x)x2；（3）f(x)26；（4）f(x)4x. x4x1x3x2解析：（1）由x40，得：x4，故函数（1）的定义域为：(,4)(4,)；

（2）显然函数（2）的自变量x恒有意义，故函数（2）的定义域为：R；

（3）由x23x20，得：x1且x2，故函数（3）的定义域为：(,1)(1,2)(2,)；

（4）由4x0且x10，得：x4且x1，故函数（4）的定义域为：(,1)

2. 下列哪一组中的函数f(x)与g(x)相等？

(1,4]. 24x（1）f(x)x1,g(x)1；（2）f(x)x2,g(x)x；（3）f(x)x2,g(x)3x6. x解析：（1）f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(,0)(0,)，定义域不同，故不相等；

（2）f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0,)，定义域不同，故不相等；

（3）g(x)3x6x2，f(x)与g(x)的定义域均为R，且解析式也相同，故f(x)与g(x)相等.

3. 画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域：

（1）y3x；

（2）y8；

（3）y4x5；

（4）yx26x7. x解析：各函数的图象如下：

y y3xy 4 O y8x5 2 y y 7 yx26x7(x3)223 O 1 y4x5x x O 54O 3

x （1）

（2）

（3）

x -2 （4）

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函数（1）的定义域为R，值域为R；函数（2）的定义域为(,0)(0,)，值域为(,0)(0,)；函数（3）的定义域为R，值域为R；函数（4）的定义为R，值域为[2,).

4. 已知函数f(x)3x25x2，求f(2),f(a),f(a3),f(a)f(3)的值. 解析：f(2)3(2)25(2)2852；f(a)3(a)25(a)23a25a2；

f(a3)3(a3)25(a3)23a218a275a1523a213a14；

f(a)f(3)3a25a2(332532)3a25a16.

5. 已知函数f(x)x2. x6（1）点(3, 14)在f(x)的图象上吗？

（2）当x=4时，求f(x)的值；

（3）当f(x)2时，求x的值. 解析：（1）x=3时，f(3)32514，故点(3, 14)不在f(x)的图象上；

363（2）x=4时，f(4)423；（3）当f(x)x2=2时，解得：x=14. 46x6

6. 若f(x)x2bxc，且f(1)0,f(3)0，求f(1)的值. 解析：由f(1)1bc0，f(3)93bc0，解得：b=-4, c=3，

∴f(1)1bc1438

7. 画出下列函数的图象：

（1）F(x)0,x0；

（2）G(n)3n1,n1,2,3. 1,x0yF(x)yG(n)10 8 6 4 O 7 1 x 2 O 1 2 3 n x（2）

d（1）

y

（第8题）

8. 如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

解析：由题意：xy10，且对角线dx2y2，周长l2x2y，那么可以获得如下函数：

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①y关于x的函数：y10，②x关于y的函数：x10，③l关于x的函数：l2x20，xxy④l关于y的函数：l202y，⑤d关于x的函数：dx2100，⑥d关于y的函数：yx22d100y2；又dx2y2x(y)x2y2y2l2042l，⑦d关于l的函数：d20，4⑧l关于d的函数：l2d220.

9. 一个圆柱形容器的底部直径是d

㎝，高是h

㎝. 现在以v

㎝³/s的速度向容器内注入某种溶液. 求容器内溶液的高度x

㎝关于注入溶液的时间t

s的函数解析式，并写出函数的定义域和值域. 解析：由dxvt，得x关于t的函数：x4vt2，值域：[0, h] 2d22由x4vt2h，得：tdh，∴定义域为：0,dh. 4vd4v2

10. 设集合A={a, b, c}，B={0, 1}，试问：从A到B的映射共有几个？并将它们分别表示出来. 解析：A到B的映射共有8个，分别为如下图：

A a b c A a b c f5f1B 0

1 A a b c f2B 0

1 A a b c f3B 0

1 A a b c f4B 0

1 B 0

1 A a b c f6B 0

1 A a b c f7B 0

1 A a b c f8B 0

1

B组

1. 函数rf(p)的图象如图所示. （1）函数rf(p)的定义域是什么？

（2）函数rf(p)的值域是什么？

（3）r取何值时，只有唯一的p值与之对应？

解析：函数rf(p)的定义域为[-5, 0]∪[2, 6)，值域为[0, +∞)，当r∈[0, 2)∪(5, , +∞)时，只有唯一的p值与之对应.

-5 r 5 2 p O 2 6 （第1题）

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2. 画出定义域为x3x8,且x5，值域为y1y2,且y0的一个函数的图象. （1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？

（2）如果平面直角坐标系中点P(x, y)的坐标满足-3≤x≤8, -1≤y≤2，其中哪些点不能在图象上？

解析：略

y

3. 函数f(x)x的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]= -4，[2.1]=2. 当x∈(-2.5, 3]时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象. 3,x(2.5,2)2,x[2,1)1,x[1,0)解析：f(x)0,x[0,1)，f(x)的图象如右图. 1,x[1,2)2,x[2,3)3,x33 2 1 -2.5 -2 -1 O -1 -2 -3 1 2 3 x

4. 如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2㎞，从点P沿海岸正东12㎞处有一个城镇. P 城镇

x2㎞

12㎞

12x小岛

（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3㎞/h，步行的速度是5㎞/h，t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：㎞）表示此人将船停在海岸处距P点的距离. 请将t表示为x的函数. （2）如果将船停在距P点4㎞处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h）？

24x解析：（1）t12x，x∈[0, 12] 35244（2）当x=4时，t1242583，故大约需要3 h. 3535（第4题）

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