实习作业优秀教案范文

二次函数的零点问题的解法探究

【教学目标】

1.

知识与技能

使学生能恰当运用求根公式法、二次函数图像法、分离参数法解决二次函数在某个区间内有一个零点、有两个零点或有零点的问题。

2.

过程与方法

通过二次函数有零点问题的解法探究，使学生初步学会运用函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等思考数学问题、解决问题。

3.

情感与价值观

使学生在“问题解决”过程中体验数学思想方法是解决数学问题的根本策略。

【学情分析】

本节课是高一学生在学完必修一《方程的根与函数的零点》的基础上，进一步拓展提升。学生已经掌握了函数零点的概念、零点存在性定理，虽然授课班级学生数学基础较一般，但通过本节课的引导，对该班的同学以后如何更好地学习数学有所启发。

【教学重难点】

重点：含有参数的二次函数在某个区间内有零点的讨论，解题方法的有效选择，数学思想的适时渗透；

难点：数学思想方法在解题中的灵活运用；合理分类。

【教学策略】

一个问题、三个解法、三个变式，解法剖析与总结，数学思想的渗透。

【教学过程】

一、知识回顾

1.函数的零点概念：对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。

2.零点存在性定理:_________ 3.二次函数f(x)axbxc(a0)

①函数yf(x)有两个零点b4ac0

②函数yf(x)有且只有一个零点0

③函数yf(x)没有零点0

基础练习

已知函数f(x)xxm

①若函数yf(x)有两个零点，则实数m的取值范围是______________ ②若函数yf(x)有且只有一个零点，则实数m的值是______________ 二、问题拓展 解法探究

【例题】已知函数f(x)xxm

2222

1

（1）函数yf(x)在区间（-1,1）内有两个零点，求实数m的取值范围；

（2）函数yf(x)在区间（-1,1）内有且只有一个零点，求实数m的取值范围；

问题（1）分析：首先0，其次，两个零点必须在区间（-1,1）内

方法一：求根公式法

14m0 m1114m114m; 又x1

,x24221114m114m1114m22 

即114m214m14m3121

4014m1 0m【点评】本解法想法直接，容易理解，适应于零点比较简单的情况。

方法二：二次函数图像法

14m01m14111m00m  24m2f(1)0f(1)0-1 1

【点评】本解法结合二次函数图像与二次函数零点的关系求解，可以避免解无理不等式，体现了方程与函数的思想。

方法三：分离参数法

2函数f(x)xxm在区间（-1,1）上有两个零点方程xxm0，x(1,1)有222两个不同实根mxx,x(1,1)有两个不同实根函数yxx,x(1,1)的图像和ym的图像有两个不同交点

作yxx,x(1,1)的图像和ym的图像

由此可知两个图像有两个不同交点时，0m

2 21

4

【点评】本解法把参数分离到方程的一边去，并构造两个函数图像的交点个数问题，直观形象，适应于参数容易分离的函数零点问题，且两个函数图像容易作图的情况。本解法体现了等价转化的思想、数形结合的思想。

问题（2）分析：

方法一：分离参数法

把问题转化为函数ym和yx2x(x(1,1))两个函数图像有唯一交点时，m1或42m0

【点评】本解法与（1）的法三相同。

方法二：利用二次函数图像进行分类讨论

01①

1m

4112

-1 1 ②

f(1)f(1)0,2m0

-1 -1 1 1

③

2

f(1)0时m0，此时f(x)xx

f(x)的零点为1,0适合在区间（-1,1）内有唯一零点

-1 1

2④ f(1)0时，m2，此时f(x)xx2

-1 1 f(x)的零点为-2,1不适合在区间（-1,1）内有唯一零点

综上所述，所求m的取值范围是m1或2m0

4【点评】本解法结合二次函数图像分类求解，求解过程分类情况多，比较复杂，且区间端点值的准确取舍有难度，克服这一难点的一个做法是“代入验证”即第③④种情况。本解法体现了分类讨论的思想。 三、课堂练习、知识巩固

已知函数f(x)xxm

(1)函数yf(x)在区间（-1,1）内有零点，求实数m的取值范围；

(2)函数yf(x)在区间（-1,1）和（-2，-1）内各有一个零点，求实数m的取值范围。

3 2

问题（1）分析：分离参数法

问题相当于方程mxx在x(1,1)时有解

2111yx2x(x)2,x(1,1)的值域为(2,]

2441m的取值范围是(2,]

4【点评】本解法把函数问题转化为方程问题，然后把参数分离到方程的一边去，转化为函数的值域问题，避免了复杂的分类讨论，简单明了，是个好解法。本解法适应于零点的个数没有明确要求，只是有零点的要求的情况。体现了等价转化的思想、方程与函数的思想。

问题（2）分析：二次函数图像法

f(2)02m02m0

f(1)0m0f(1)02m0-1 -2 1 

【点评】本解法结合二次函数图像求解，简单明了，是个好解法。体现了数形结合的思想。

四、解法总结

对于二次函数在区间内的零点问题，常用解法有求根公式法、二次函数图像法、分离参数法。利用函数与方程互化求解是方程与函数思想的重要体现；求解过程常常需要用到数形结合、分类讨论、等价转化。对于区间内有零点问题，一般要区别零点个数，选择适当的解法，如果题目要求一个零点、二个零点，3种解法都可使用；如果题目只是要求在区间内有零点，那么用分离参数法转化为求函数的值域，可以避开复杂的分类讨论，是一个比较好的方法。

五、布置作业

1.已知二次函数f(x)x(m1)x2m在[0,1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围。

2.已知函数f(x)xmx1

(1)若yf(x)有零点，求实数m的取值范围；

(2)若yf(x)有两个正的零点，求实数m的取值范围；

(3)若yf(x)在区间[,3]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围。

2212

4