阅读与思考 集合中元素的个数优秀教学设计

第一讲---集合中的计数问题

一．

基本问题

1．

含有n(nN)个元素的集合的子集的个数；

2．

领悟容斥原理并简单的应用之. 二．

学习目标

1．

通过探究含有n(nN)个元素的集合的子集的个数，培养学生猜证结合的数学思想，渗透乘法计数原理和等比数列的基本内容；

2．

通过容斥原理的探究，加深学生对集合运算的理解，提高学生的逻辑推理能力. 3．

通过针对性的习题训练，培养学生分析问题的能力. 三．

课程内容

1．含有n(nN)个元素的集合的子集的个数

引例：（1）用列举法表示集合

（2）上述集合有多少个子集？

9N|xN_______，

9x答案：（1）1,3,9

（2）共有8个子集. 注：要求学生把8个子集列举出来. 问：如何探究含有n个元素的集合的子集的个数规律呢？

填写下列表格：

集合元素个数n 1 2 3 4 5 发现了什么样的规律呢？

猜测：含有n(nN)个元素的集合的子集的个数为an2n. 如何证明这一猜测呢？

方法一

含有n+1个元素的集合的子集个数与含有n个元素的集合的子集个数有什么关系吗？

发现：集合每增加一个新元素x时，若将元素x加入到其原有的每一个子集，就可以得到同等数量的新的子集，故可知集合每增加一个元素，其子集个数翻倍。

即：an12an(nN). 又,a12所以an2an12an222n1子集个数

2 4 8 16 32 发现规律

21

22

23

24

25

a12n. 方法二

我们还可以发现：把一个子集的产生过程分成n步，逐个确定每一个元素是否被选入，完成这一过程一共有多少种不同的方式，就对应多少个子集.

依据乘法计数原理：完成一件事需要n步，每一步分别有M1,M2,,Mn种的方式，则完成这件事共有M1M2Mn种不同的方式. nn可得含有n(nN)个元素的集合的子集的个数为an2222

例1 如果1,1,2 A xZ|x13，则满足条件的集合A有_______个. 解:xZ|x132,1,0,1,2,3,4

所以满足条件的集合A的个数等于集合2,0,3,4的非空子集的个数

，共15个. 总结：探究新问题时，要从简单的具体的情况入手，归纳多种特殊情况下结论的共性或关联，而后在想办法进行一般性论证。

2．

容斥原理及其应用

引例：如果集合A中有10个元素，集合B中有8个元素，问：

（1）

集合中最多有多少个元素？最少有多少个元素？

（2）

如果集合AB中有15个元素，那么集合AB中有多少个元素？

由此例，可以总结出怎样的规律？

设N(A)表示集合A中元素的个数，则N(AB)N(A)N(B)N(AB)

这就是统计两个集合元素个数的基本原理---容斥原理. 容斥原理可以拓展为求n个集合元素总数的情形，它是以两个集合的容斥原理为基础的. 例2某学校先后举行数学、物理、化学三科知识竞赛，共有965人参赛，事后统计表明：数学答卷807份，物理答卷739份，化学答卷437份，又统计出有593人都参加了数学和物理竞赛，有371人都参加了数学和化学竞赛，有267人都参加了物理和化学竞赛，问：

（1）其中参加数学或物理竞赛的同学共有多少人？没有参加数学或化学竞赛的共多少人？

（2）共有多少人参加了三科竞赛？

解：设参加数学竞赛的同学构成集合A，参加物理竞赛的同学构成集合B，参加化学竞赛的同学构成集合C，由已知可知：N(A)807,N(B)739,N(C)437

,N(AC)371,N(BC)267，且N(ABC)965

而N(AB)593（1）

参加数学或物理竞赛的总人数N(AB)807739593953，而没有参加数921

学或化学竞赛的人数为965N(AC)965807437371（2）

所求N(ABC)?

依据容斥原理，可以得到如下公式：

N(ABC)N(A)N(B)N(C)N(AB)N(AC)N(BC)N(ABC)所以N(ABC)965807739437593371267213

即共有213人参加了三科竞赛. 容斥原理：在计数时，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

练习：（1）在大于0小于1000的自然数中，能被2或3或5整除的有多少个？

（2）在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

答案：（1）499333199166996633733（个）；

（2）设木棍长为60，则第一种刻度线有9条，相邻两条刻度线间距为6；第二种刻度线有11条，相邻两条刻度线的间距为5；第三种刻度线有14条，相邻两条刻度线的间距为4. 第一种刻度线与第二种刻度线重叠的有1条，第一种刻度线与第三种刻度线重叠的有4条，第二种刻度线与第三种刻度线重叠的有2条，没有三种刻度线重叠的情况. 由容斥原理，可得不同的刻度线有91114142027

故木棍共被锯成28段.