阅读与思考 中外历史上的方程求解教案及板书设计

函数与方程教学设计

冷水江市第一中学：刘小明

一

设计思想：

函数与方程是中学数学的重要内容，是衔接初等数学与高等数学的纽带，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，是具体事例与抽象思想相结合的体现，在教学过程中，我采用了自主探究教学法。通过教学情境的设置，让学生由特殊到一般，有熟悉到陌生，让学生从现象中发现本质，以此激发学生的成就感，激发学生的学习兴趣和学习热情。在现实生活中函数与方程都有着十分重要的应用，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

二

教学内容分析：

本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。

总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。

三

教学目标分析：

知识与技能：

1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；

2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间

的方法

情感、态度与价值观：

1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；

2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；

3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感

教学重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

教学难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

四

教学过程设计：

（一）、问题引人：

请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？

（1）；（2）. 学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？

学生活动：思考作答。

设计意图：通过设疑，让学生对高次方程的根产生好奇。

（二）、概念形成：

预习展示1：

你能通过观察二次方程的根及相应的二次函数图象，找出方程的根，图象与轴交点的坐标以及函数零点的关系吗?（用屏幕显示函数学生活动：观察图像，思考作答。

教师活动：我们来认真地对比一下。用投影展示学生填写表格

一元二次方程

方程二次函数

的根

函数的图象

（简图）

图象与轴函数的零点

的图象）

交点的坐标

问题1：你能通过观察二次方程的根及相应的二次函数图象，找出方程的根，图象与轴交点的坐标以及函数零点的关系吗?

学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。

教师活动：我们就把使方程

成立的实数x称做函数的零点．（引出零点的概念）

根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关系？

学生活动：经过观察表格，得出（请学生总结）

1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。例如函数的零点为x=-1,3 2）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．

3）方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

教师活动：引导学生仔细体会上述结论。

再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？

学生活动：可以解方程而得到（代数法）；

可以利用函数的图象找出零点．（几何法）. 设计意图：由学生最熟悉的二次方程和二次函数出发，发现一般规律，并尝试的去总结零点，根与交点三者的关系。

（三）、探究性质：

预习展示2

观察(1)在的图象: 内_____(有/无)零点；

)_______0 (<或>)．

(2) 在内_____(有/无)零点；

______ 0 (<或>)．

=_____,

= ______;

=____,=_______;

思考：推广一般函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？

1 在区间2 在区间3 在区间)上____(有/无)零点；

上____(有/无)零点；上____(有/无)零点；

____ 0（＜或＞）．

____ 0（＜或＞）．

) ____ 0（＜或＞）．

教师活动：从上述描述中得到零点所在区域有什么特点？

学生活动：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论）

一般地，我们有：如果函数，那么函数，这个c也就是方程教师活动：

问题2：

学生活动：部分赞同，部分不赞同。并举例：

提出修改意见：

在区间在区间的根。

上的图象是连续不断的一条曲线并且有内有零点，即存在，使得

（修改意见）

教师活动：再次将零点存在定理展现。

问题3：如果函数)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，那么

若函数若若区间在区间内有零点，一定能得在区间在区间吗？

内一定没有零点吗？

，则函数，则函数内有几个零点？能否增加条件，使得函数在内有且只有一个零点？

（逐步提出）

学生活动：通过讨论的到如下结论：（学生总结）

1）函数2）在区间3) 函数跟踪练习：

(1)判断函数在是否有零点，为什么？

在区间上有在区间上的图象是连续不断的一条曲线

内单调时只有一个零点零点唯一定理; 学生：(2)判断函数（通过讨论还要加上单调性）

在（2,3）是否有零点，为什么？

学生：(3)整个定义域呢？

学生;可以将整个定义分成三部分：

设计意图：通过对一般函数图象的研究，让学生自主发现零点存在定理的充分不必要性。

（四）、思想拓展：

你还有其它办法来确定函数零点所在的大致区间？

学生分组讨论，结合引例：找出下列函数的零点.

（学生归纳）通过数形结合，把原函数的

零点个数问题，转化为讨论方程的根个数问题，再转化为两个简单函数的图象交点个数问题.

设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解，深化数形结合思想

（五）、探索研究(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整) 讨论：请大家给方程的一个解的大约范围，看谁找得范围更小？

[师生互动] 师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性。也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生学习潜能和热情。老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间大小情况。

生：分组讨论，各抒己见。在探究学习中得到数学能力的提高

第五阶段设计意图：

一是为用二分法求方程的近似解做准备

二是小组探究合作学习培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的。

（六）、课堂小结：

零点概念

零点存在性的判断

零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间

（七）、巩固练习（略）