阅读与思考 集合中元素的个数PPT专用课堂实录内容

一、选择题

11．(2017·北京，5)已知函数f(x)＝3x－3x，则f(x)(

) A．是奇函数，且在R上是增函数

B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数

D．是偶函数，且在R上是减函数

【解析】

∵函数f(x)的定义域为R，

11f(－x)＝3－x－3－x＝3x－3x＝－f(x)，

∴函数f(x)是奇函数．

1∵函数y＝3x在R上是减函数，

1∴函数y＝－3x在R上是增函数．

又∵y＝3x在R上是增函数，

1∴函数f(x)＝3x－3x在R上是增函数．

故选A. 【答案】

A 2．(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(

) A．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

【解析】

先求函数的定义域，由奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性．

1＋x>0，由得－1

1－x>0，又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

f′(x)＝选A. 11＋，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1)上为增函数．故1＋x1－x【答案】

A 3．(2017·赣中南五校联考，8)在下列区间中，函数f(x)＝3x－x2有零点的区间是(

) A．[0,1]

C．[－2，－1]

【解析】

∵f(0)＝1，f(1)＝2，∴f(0)f(1)＞0，

∵f(2)＝5，f(1)＝2，∴f(2)f(1)＞0，

11∵f(－2)＝9－4，f(－1)＝3－1，

∴f(－2)f(－1)＞0，

1∵f(0)＝1，f(－1)＝3－1，∴f(0)f(－1)＜0，

易知[－1,0]符合条件，故选D. 【答案】

D x34．(2017·西安八校联考)函数y＝x的图象大致是(

) 3－1B．[1,2]

D．[－1,0]

【解析】

由3x－1≠0得x≠0，

x3∴函数y＝x的定义域为{x|x≠0}，可排除A；

3－1－133当x＝－1时，y＝1＝2＞0，可排除B；

3－14当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝5，

但从D中函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除D.故选C. 【答案】

C a－1x－2a，x＜2，5. (2017·山东济宁3月模拟，15)若函数f(x)＝(a＞0logx，x≥2a且a≠1)在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．

a－1x－2a，x＜2，【解析】

因为函数f(x)＝(a＞0且a≠1)在R上单logx，x≥2a

a－1＜0，调递减，则0＜a＜1，loga2≤a－1×2－2a2，1. 22【答案】

，1

2二、填空题

2⇒2≤a＜1，即实数a的取值范围是6．(2017·辽宁沈阳一模，16)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜nn，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则m＝________. 【解析】

∵f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，∴m＜1＜n，－log3m＝log3n，∴mn＝1. ∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2,1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，∴－log3m2＝2或log3n＝2. 1n1若－log3m2＝2，则m＝3，从而n＝3，此时log3n＝1，符合题意，则m＝3÷3＝9. 1若log3n＝2，则n＝9，从而m＝9，此时－log3m2＝4，不符合题意．

故答案为9. 【答案】

9 x－[x]，x≥0，7．已知函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数．若fx＋1，x＜0，

直线y＝k(x＋1)(k＞0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________．

【解析】

根据[x]表示的意义可知，当0≤x＜1时，f(x)＝x，当1≤x＜2时，f(x)＝x－1，当2≤x＜3时，f(x)＝x－2，以此类推，当k≤x＜k＋1时，f(x)＝x－k，k∈Z，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，作出函数f(x)的图象如图，直线y＝k(x＋1)过点(－1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰好11有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈4，3. 

11【答案】

4，3

x2－a，x＜1，8．(2017·海淀二模)设函数f(x)＝

4x－ax－2a，x≥1.

(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；

(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．

x2－1，x<1，【解析】

(1)当a＝1时，f(x)＝

4x－1x－2，x≥1.

当x<1时，f(x)＝2x－1∈(－1,1)，

321x－－≥－1，

当x≥1时，f(x)＝4(x－3x＋2)＝4242∴f(x)min＝－1. (2)由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：

当f(x)＝2x－a，x<1没有零点时，a≥2或a≤0. 当a≥2时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时，有2个零点；

当a≤0时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时无零点．

因此a≥2满足题意．

当f(x)＝2x－a，x<1有一个零点时，

0

1【答案】

(1)－1

(2)2，1∪[2，＋∞) 三、解答题

fx，x>0，9．已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，－fx，x<0.2

且对任意实数x均有f(x)≥0成立．

(1)求F(x)的表达式；

(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．

【解】

(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，

∴b＝a＋1，

∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1. ∵f(x)≥0恒成立，

a>0，∴

2Δ＝a＋1－4a≤0，a>0，即

2a－1≤0.∴a＝1，从而b＝2，

∴f(x)＝x2＋2x＋1，

2x＋2x＋1，x>0，∴F(x)＝2

－x－2x－1，x<0.

(2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1. ∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，

k－2k－2∴2≤－2或2≥2，

解得k≤－2或k≥6. ∴k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．

10．已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a. (1)求函数f(x)的极值；

(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

2【解】

(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－x＝0，得x＝1. 当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值．

(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，

2所以k′(x)＝1－x，令k′(x)＞0，得x＞2，

所以k(x)在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，

所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值，k(2)＝2－2ln 2－a，

因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点．

即有k(x)在[1,2)和(2,3]内各有一个零点，

k1≥0，所以k2＜0，k3≥0，

1－a≥0，即有2－2ln 2－a＜0，3－2ln 3－a≥0，

解得2－2ln 2＜a≤3－2ln 3. 所以实数a的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．

11．已知函数f(x)＝ex－m－x，其中m为常数．

(1)若对任意x∈R有f(x)≥0成立，求m的取值范围；

(2)当m＞1时，判断f(x)在[0,2m]上零点的个数，并说明理由．

【解】

(1)f′(x)＝ex－m－1，

令f′(x)＝0，得x＝m. 故当x∈(－∞，m)时，ex－m＜1，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(m，＋∞)时，ex－m＞1，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

∴当x＝m时，f(m)为极小值，也是最小值．

令f(m)＝1－m≥0，得m≤1，

即若对任意x∈R有f(x)≥0成立，则m的取值范围是(－∞，1]．

(2)由(1)知f(x)在[0,2m]上至多有两个零点，当m＞1时，f(m)＝1－m＜0. ∵f(0)＝e－m＞0，f(0)f(m)＜0，

∴f(x)在(0，m)上有一个零点．

∵f(2m)＝em－2m，令g(m)＝em－2m，

∵当m＞1时，g′(m)＝em－2＞0，

∴g(m)在(1，＋∞)上单调递增，

∴g(m)＞g(1)＝e－2＞0，即f(2m)＞0. ∴f(m)·f(2m)＜0，

∴f(x)在(m,2m)上有一个零点．

∴故f(x)在[0,2m]上有两个零点．