信息技术应用 用计算机绘制函数图象教学活动设计方案

导数的综合应用（复习课）教案

【考纲要求】

1.

了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究单调性，会求函数的单调区间. 2. 了解函数在某一点处的极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值.

【考纲解读】

导数在研究函数性质中的应用是高考考查的重点和热点，考查题型一般有两种：一是求函数的单调区间、极值、最值；二是已知函数的单调性、极值、最值，求参数的取值范围及求解有关不等式。（难度较大）

教学目标

知识与技能：知道可导函数的单调性与其导数的关系. 会求函数的极值（最值），进而解决相关不等式的问题。

过程与方法：培养学生的数形结合、转化、分类讨论，构造函数的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力．

情感态度：这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心. 教学重难点：

重点：能利用导数，研究函数的单调性，会求函数的单调区间、极值和最值．

难点：含参函数的导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用。

教法与教具：

教法：1.采用“学案导学”方式进行教学

2.讲授式、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用

教具：多媒体、学案

教学过程

一．基础知识，自主学习

1. 阅读教材选修2-2 的P22-P31的内容，默写下面知识要点

（1）函数的单调性

㈠在某个区间(a，b)内，如果f′(x)

0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果

f′(x)

0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

㈡利用导数求函数单调区间的一般步骤：

①确定函数f(x)的

；

②

求

；

③由

解出相应的x的取值范围，当f′(x)>0时，f(x)在相应区间内是

; 当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间内是

.

㈢（a) 若可导函数f(x)在某个区间上单调递增，则有

；

(b) 若可导函数在某个区间上单调递减，则有

1

（2）函数的极值

㈠判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧

，右侧

，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧

，右侧

，那么f(x0)是极小值．

㈡求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程

的根；

③检查f′(x)在方程

的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得

；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得

．

2.小题提前练：

1.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为

(

) x22. 函数f(x)＝x3－

2

－2x＋5，则函数f(x)的单调增区间是___

__

单调减区间

,极小值为

. 33.三次函数f(x)＝mx－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是 (

)

A．m<0

B．m<1

C．m≤0

D．m≤1

【设计说明】

第一步：自主复习，学生将以上基础知识填完

第二步：独立完成小题，巩固知识

第三步：老师点评，根据情况有重点的进行知识讲评

二.典例分析

题型一利用导数研究函数的单调性

1例1.求函数f(x)3lnxx24x的单调区间

2答案: (0,1),（3，）(1,3)变式训练.已知函数fxalnx12x(1a)x2，

aR

1)

讨论f(x)的单调性。

答案:

2

(3)函数f(x)在区间[2,﹢∞)上单调递增，则实数a的取值范围是

;

ax2(1a)xa解：由题可知：f'(x)x(1a)0在2，上恒成立

xx

即x2(1a)xa0在2，上恒成立

a(x1)x2x在2，上恒成立

又x1

上恒成立

ax在2，

a2※小结：

题型二：利用导数研究与不等式有关的问题 例2.

已知f(x)＝x-x2 +3ln

x，g(x)＝2x-2, 求证:f(x)≤g(x)

解:令F(x)f(x)g(x)3lnxx2x2

32x2x3(2x3)(x1)

F'(x)2x1xxx

又x0,2x30

F'(x)00x1即F(x)在（0,1）上单调递增

F'(x)0x1即F(x)在（1,）上单调递减

F（x）F(1)0max

F(x)0在（0,）上恒成立

即f(x)g(x)变式训练2.

已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.

且对一切x∈(0，＋∞)，

2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

3解：2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋x，

①当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，

※小结：

【设计说明】

第一步：独立思考，独立完成各题

第二步：合作交流，大胆展示

第三步：老师点评，根据情况有重点的进行知识讲评

第四步：归纳解题方法，理清做题思路

三．归纳总结

引导学生从以下方面进行小结

3

1、导数与单调性的问题

2、利用导数证明不等式

数学思想：

四．自我检测

1.

已知f(x)=ex-ax-1，若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围.

122.

已知函数f(x)＝ alnx2x＋ （1）求函数f(x)的单调区间 23（2）若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝ x3的图象的下方

五．课后作业

略

六.板书设计

导数的综合应用

1.

利用导数研究函数的单调性

例1.

学习目标

2.

利用导数研究与不等式相关问题

例2.

4