阅读与思考 集合中元素的个数优秀获奖教案

教研会讲题材料（奥数）（一）

xiongyong 集合中元素的个数（容斥原理）

一、知识点

1、有限集中的元素个数

含有有限个元素的集合A叫做有限集

有限集A的元素个数记为card(A)或|A|

2、容斥原理

对于任意两个有限集合A、B，有

card(AB)card(A)card(B)card(AB)

对于任意三个有限集合A、B、C，有

card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(BC)

card(AC)card(ABC)

对于任意n个有限集合A1、A2、……、An，有

card(A1A2…An)1incard(A)icard(AiAj)1ijn1ijkncard(AiAjAk)

…(1)n1card(A1A2…An)。

二、典型例题

例1：在全国数学竞赛中只有三道题。已知：①某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；②在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题人数的2倍；③只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；④只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题。共有多少学生只解出第二题？

【解析】：如图，分别用集合A、B、C表示解出第一、二、三道题的学生的集合，a、b、c、d、e、f、g分别表示各部分学生的人数。根据已知条件可得

abcdefg25①bf2(cf)②

adeg1③abc④由②代入①得：

a2bcdeg25⑤

由③代入⑤得：2bc2d2e2g24⑥

由④代入⑤得：3bdeg25⑦

教研会讲题材料（奥数）（一）

xiongyong 由⑦2⑥得：4bc26⑧

由于c0，所以b13；

252。

9联立②、⑧式得：f9b520，所以b因为bN，所以b6。故只解出第二题的学生有6人。

例2：某班语文、数学、英语三门课程期中考试成绩统计结果：至少有一门课程得满分的学生只有18人，语文得满分的有9人，数学得满分的有11人，英语得满分的有8人，语文、数学都得满分的有5人，数学、英语都得满分的有3人，语文、英语都得满分的有4人。问：

（1）语文、数学两门课程至少有一门得满分的学生有多少人？

（2）语文、数学、英语三门课程都得满分的学生有多少人？

【解析】：设该班期中考试语文、数学、英语得满分的学生集合分别为A、B、C，由题意知

|A|9，|C|8，|AB|5，|BC|3，|C|B|11，（1）语文、数学两门课程至少有一门得满分的学生有

A|4，|ABC|18

|AB||A||B||AB|911515（人）

（2）语文、数学、英语三门课程都得满分的学生有

∵|A∴|ABC||A||B||C||AB||AC||BC||ABC|

BC||ABC||A||B||C||AB||AC||BC|

1891185342（人）

三、当堂检测

某中学共有教师120名，教语文、数学、英语的分别有40、50、45名，其中有15名能教数学、英语，有10名能教数学、语文，有8名能教英语、语文，还有4名语文、数学、英语都能教。问：该校这三门课都不能教的教师有多少名？