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第一章 集合与函数

一、知识网络

集

合

表

示

法

列

描

图

举

述

示

法

法

法

集合与函数

集合

映射

函数

集

合

的

关

系

集

合

的

运

算

映射的概念

函数

及其表示

函数基本性质

包

含

相

等

交

集

并

集

补

集

子集与真子集

二、新课标要求：

（Ⅰ）、集合：（一）集合的含义与表示

1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.

2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（二）集合间的基本关系

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.

（三）集合的基本运算

1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。

（Ⅱ）函数：1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域。

2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。

3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。

5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.

6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.

函数的概念

函数的表示法

单调性与最值

函数

的

奇偶性

（Ⅲ）幂函数：

1．了解幂函数的概念。2．结合函数

yx,yx21,y,yxx12 的图像，了解它们的变化情况。

三、高考导航

（一）集合：根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现。

(二）函数：函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年函数部分在选择、填空和解答题中都有，高考命题考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

第一课时 集合的概念及运算

一、复习目标：（1）集合的含义与表示：了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

（2）集合的基本关系：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（不要求证明集合的相等关系、包含关系）。了解全集与空集的含义。

（3）集合间的基本运算：理解两个集合的并集与交集的含义；会求两个简单集合的并集与交集。理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集。会用Venn图表示集合的关系及运算。

二、重难点：重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

学法指导：1．易混淆的概念：注意区分元素对集合的隶属关系与集合之间的包含关系、元素a与集合{a}数集{a,b}与点集{(a,b)}；2. 代表元素识别：

几何问题要根据“代表元素”首先确定属于哪类集合（点集、数集等），然后确定方法。描述法给出的集合，性质雷同，代表元素不同，则集合不同，如{x|y3x}{y|y3x}；3.注意集合的特殊性：将空集表示成0,{0},{},{空集}都是错误的，解题中，要注意空集的可能性，并分类讨论。中是集合是子集；是元素，4.数学思想的渗透：集合运算的性质可借助韦恩图导出，是数形结合；含参数的集合，要注意验证集合元素的互异性；含AB条件，要讨论A=的情况；补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题； 5.综合运用。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳。

四、教学过程

（一）、谈新考纲要求及高考命题考查情况，促使学生积极参与。

1、最新考纲要求：学生阅读复资P1教师点评。

2、高考命题考查情况及预测：有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

预测2010年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。

（二）、知识梳理整合，方法定位（学生完成下列填空题，教师针对问题讲评）

1、集合的含义及其关系

⑴、集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性；

⑵、集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；

⑶、集合中元素与集合的关系：

文字语言

属于

不属于

⑷、常见集合的符号表示

数集

符号

自然数集

正整数集

N或N

符号语言





整数集

有理数集

Q

实数集

复数集

N

Z

R

C

2、集合间的基本关系

表示

关系 相等

文字语言

集合A与集合B中的所有元素都相同

符号语言

AB且BA

AB

子集

真子集

A中任意一元素均为B中的元素

A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

AB或BA

AB

空集

3、集合的基本运算

①两个集合的交集:AA，B（B）

B= xxA且xB；②两个集合的并集: AB=xxA或xB；③设全集是U,集合AU,则CUAxxU且xA

交

并

补

AB{x|xA,且xB}

AB{x|xA,或xB}

CUA

xxU且xA

方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算. （三）、重难点问题探析：

1.集合的概念

掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，

在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；

2．集合的表示法

（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的

性质，如xyf(x)、yyf(x)、(x,y)yf(x)等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：

x2y2xy1,Ny1,则MN=（ ）

问题：已知集合Mx3294A. ；B. (3,0),(0,2)；C. 3,3；D. 3,2

xyx2y21，集合N表示直线1，由于这直线[错解]误以为集合M表示椭圆3294过椭圆的两个顶点，于是错选B [正解] C；

显然Mx3x3，NR，故MN[3,3]

(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。

3．集合间的关系的几个重要结论

（1）空集是任何集合的子集，即A；2）任何集合都是它本身的子集，即AA；3）子集、真子集都有传递性，即若AB，BC，则AC

4．集合的运算性质

（1）交集：①ABBA；②AAA；③A；④ABA，ABB⑤ABAAB；

（2）并集：①ABBA；②AAA；③AA；④ABA，ABB⑤ABABA；

（3）交、并、补集的关系：①ACUA；ACUAU

②CU(AB)(CUA)(CUB)；CU(AB)(CUA)(CUB)



（四）、基础巩固训练

1．

设全集UR,Axx(x3)0,Bxx1, 则右图中阴影部分表示的集合为 ( ) A．xx0；B．x3x0；C．x3x1；D．xx1

[解析]C；图中阴影部分表示的集合是AB，而Ax3x0，故ABx3x1

2.已知Axx(1x)0,Bxlog2x0

则AA．(0,1)；B．(0,2)；C．(,0)；D．(,0)U A B B=（ ）

(0,

[解析] A；因为Ax0x1，Bx0x1，所以ABx0x1

3．集合A中的代表元素设为x，集合B中的代表元素设为y，若xB且yA，则A与B的关系是 [解析]BA

或AB；由子集和交集的定义即可得到结论

,STR，4.(2009天津)设集合Sx|x23,Tx|axa8则a的取值范3a1 C．a3或a1；3a1；a3或a1

围是（

）。A．B．D．[解析]A；Sx|x23xx1或x5，Tx|axa8，STR

所以a1，从而得3a1

a855．(2008山东改编）定义集合运算:ABzxyxy,xA,yB,设集合22A1,0,B2,3,则集合AB的所有元素之和为 [解析]18，根据AB的定义，得到AB0,6,12，故AB的所有元素之和为18 6．(2009湖北改编）设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP,且xQ，如果Pxlog3x1，Qxx1,那么PQ等于 [解析] x1x3；因为Pxlog3x1(0,3)，Qxx1(1,1)，所以

PQ(1,3)

7.若集合Syy3,xR，Tyyx1,xR，则ST是（ ）

A. S；B. T；C.；D. 有限集

x2

x[解析] A；由题意知，集合Syy3,xR表示函数y3,xR的值域，故

2集合S(0,)；Tyyx1,xR表示函数yx1,xR的值域，x2T[1,)，故STS

8.已知集合M(x,y)xy2，N(x,y)xy4，那么集合MN为（ ）A.x3,y1；B.(3,1)；C.3,1；D.(3,1)

[解析]D；MN表示直线xy2与直线xy4的交点组成的集合，A、B、C均不合题意。

（五）、小结：集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、CSA、∪，∩等等；

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。①

区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②

AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ。③若集合A中有n(nN)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是2－1, 所有非空真子集的个数是22。④区分集合中元素的形式：如A{x|yx22x1}nnn；B{y|yx22x1}；C{(x,y)|yx22x1}2；D{x|xx22x1}；E{(x,y)|yx22x1,xZ,yZ}F{(x,y')|yx2x1}

y⑤空集是指不含任何元素的集合。{0}、和{}的区别；G{z|yx22x1,z}。x0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为AB，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。⑥符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系

；符号“Ø,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

（六）、作业布置：复资P2页中1、3、5 随堂训练中7 课外练习：随堂训练中1、3、4、5、6 限时训练1中2、3、4、5、6、8、9。

五、教学反思：