小结优质课教案内容

函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－偶函数

关于y轴对称

x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－奇函数

关于原点对称

x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

温馨提示：(1)所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例2如，y＝x当定义域为区间(－∞，＋∞)时是偶函数，但当定义域为区间[－1，2]时却不具有奇偶性．

1(2)f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．例如，f(x)＝为奇函数，但f(0)无x意义；又如f(x)＝2x－1满足f(0)＝0，但不是奇函数．但奇函数f(x)在x＝0处有意义，必有f(0)＝0.

2．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

温馨提示：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．

1．(2014·广东惠州市调研)下列函数是偶函数的是(

) A．y＝sin x

B．y＝x3

C．y＝ex

D．y＝lnx2＋1 解析：选D.y＝sin x为奇函数，y＝x3为奇函数，y＝ex是非奇非偶函数，y＝lnx2＋1为偶函数．

12．(教材改编题)函数f(x)＝－x的图象关于(

) xA．y轴对称

B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称

D．直线y＝x对称

1解析：选C.f(x)＝－x是奇函数，所以图象关于原点对称．

x13．(2013·高考山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，

f(x) ＝x2＋，则f(－1)＝

x(

) A．－2

B．0 C．1

D．2 1解析：选A.当x>0时，f(x)＝x2＋，

x1∴f(1)＝12＋＝2.

1∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 4．(2013·高考大纲全国卷)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________. 解析：由于f(x)的周期为2，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，

所以f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.

答案：－1 5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．

解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，

1∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，

31∴b＝0，∴a＋b＝.

31答案：

3

判定函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性．

1(1)f(x)＝x3－；

x(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；

2x＋2（x＞0）(3)f(x)＝0（x＝0）. －x2－2（x＜0）[解]

(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，

并且对于定义域内的任意一个x都有

11f(－x)＝(－x)3－＝－(x3－)＝－f(x)，

x－x从而函数f(x)为奇函数．

(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．

又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，

当x＞0时，

f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；

当x＜0时，

f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；

当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．

故该函数为奇函数．

(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：

(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．

1．判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝3－2x＋2x－3；

4－x2(2)f(x)＝；

|x＋3|－32x＋x，x＞0，(3)f(x)＝2

x－x，x＜0；(4)f(x)＝x2－|x－a|＋2. 3解：(1)∵函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为2，不关于坐标原点对称，

∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

24－x≥0，(2)由得－2≤x≤2且x≠0，

|x＋3|－3≠0∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．

4－x24－x2∴f(x)＝＝.

x（x＋3）－3∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．

(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；

当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故

f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．

(4)函数f(x)的定义域为R.

当a＝0时，f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

当a≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2，

f(a)≠f(－a)，且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2)

127＝2|a|－2＋≠0，

2∴f(x)是非奇非偶函数．

综上，当a＝0时，f(x)是偶函数；当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数．

函数奇偶性的应用

(2013·高考湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(

) A．4

B．3 C．2

D．1 [解析]

∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．

又g(x)是偶函数，

∴g(－1)＝g(1)．

∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.①

又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②

由①②，得g(1)＝3.

[答案]

B

应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法：

(1)求函数值．

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

(2)求解析式．

将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．

(3)求函数解析式中参数的值．

利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．

(4)画函数图象和判断单调性．

利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．

（x＋2）（x＋k）2．(2014·广东湛江调研)设函数f(x)＝为奇函数，则k＝________．

tan x解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

（x＋2）（x＋k）（－x＋2）（－x＋k）∴＝－，

tan xtan（－x）∴(x＋2)(x＋k)＝(2－x)(k－x)，

x2＋2x＋kx＋2k＝2k－kx－2x＋x2，∴k＝－2.

答案：－2 函数周期性的应用

(2012·高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝(

) A．335

B．338 C．1 678

D．2 012 [解析]

由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.

[答案]

B

判断函数周期性的三个常用结论：

若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：

(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，

2|a|是它的一个周期；

1(2)f(x＋a)＝(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，

f（x）2|a|是它的一个周期；

1(3)f(x＋a)＝－(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，

f（x）2|a|是它的一个周期．

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．

解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．

∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)∵x∈[2，4]，

∴－x∈[－4，－2]，

∴4－x∈[0，2]，

∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.

又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，

∴－f(x)＝－x2＋6x－8，

即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．

对函数f(x)＝[x]的再理解

(2013·高考湖北卷)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(

) A．奇函数

B．偶函数

C．增函数

D．周期函数

[解析]

当x∈[0，1)时，画出函数图象(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数，故选D.

[答案]

D

本考题源于教材人教A版必修1 P25习题B组T3，“函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.当x∈(－2.5，3]时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象”的变式．

1．(2013·高考陕西卷)设[x]表示不大于x的最大整数，

则对任意实数x，有(

) 1A．[－x]＝－[x]

B．[x＋]＝[x] 21C．[2x]＝2[x]

D．[x]＋[x＋]＝[2x] 2解析：选D.选项A，取x＝1.5，则[－x]＝[－1.5]＝－2，－[x]＝－[1.5]＝－1，显然[－x]≠－[x]．

1选项B，取x＝1.5，则[x＋]＝[2]＝2≠[1.5]＝1.

2选项C，取x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3，2[x]＝2[1.5]＝2，显然[2x]≠2[x]．

x－[x]，x≥02．(2014·陕西榆林六校高三适应性训练)设函数f(x)＝，其中[x]表示不f（x＋1），x<0超过x的最大整数，如[－1.5]＝－2，[1.5]＝1，若直线y＝k(x＋1)(k>0)与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，则k的取值范围是(

) 111A．(，]

B．(0，] 4341111C．[，]

D．[，) 4343x－[x]，x≥011解析：选D.依题意作出函数f(x)＝与直线y＝(x＋1)、y＝(x＋1)的部34f（x＋1），x<011分图象，如图所示．从图象中我们可以看出当k＝时，函数f(x)与直线y＝(x＋1)的图象有441111三个交点，当k＝时，函数f(x)与直线y＝(x＋1)的图象有两个交点，所以当≤k<时，直3343线y＝k(x＋1)与函数y＝f(x)的图象恰有三个交点，故选D.