复习参考题教案范文

函数的模型及其应用

1．几类函数模型

函数模型

一次函数模型

反比例函数模型

二次函数模型

指数函数模型

对数函数模型

幂函数模型

2.三种函数模型的性质

函数

性质

在(0，＋∞)上的增减性

增长速度

图象的变化

值的比较

【知识拓展】

1．解函数应用题的步骤

y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 函数解析式

f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0) kf(x)＝＋b (k，b为常数且k≠0) xf(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 单调递增

越来越快

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

单调递增

越来越慢

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

单调递增

相对平稳

随n值变化而各有不同

存在一个x0，当x>x0时，有logax

2．“对勾”函数

a形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

x(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．

(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a，

当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(

√

) (2)幂函数增长比直线增长更快．(

×

) (3)不存在x0，使ax0nx0logax0.(

×

) (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．(

√

) (5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(

×

)

1．(教材改编)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(

) A．100只

B．200只

C．300只

D．400只

答案

B 解析

由题意知100＝alog3(2＋1)，

∴a＝100.∴y＝100log3(x＋1)，

当x＝8时，y＝100log39＝200. 2．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为(

)

答案

B 解析

根据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B. 3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(

) p＋qA.

2C.pq

答案

D 解析

设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，

∴x＝1＋p1＋q－1. 4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(

) A．3

B．4

C．6

D．12 答案

A 24－4x解析

设隔墙的长度为x(0

∴当x＝3时，y最大．

5．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又1知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________20万元．

答案

2 500 111解析

L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500. 202020当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．

p＋1q＋1－1B.

2D.p＋1q＋1－1

题型一

用函数图象刻画变化过程

例1

(1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(

)

(2)(2016·日照模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(

)

答案

(1)C

(2)B 解析

(1)小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C. (2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B. 思维升华

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的

答案．

设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(

)

答案

D 解析

y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，应随时间增大而增大，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D. 题型二

已知函数模型的实际问题

例2

(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.

(2)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．

答案

(1)19

(2)16 解析

(1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19. (2)当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae∴e－8b－8b1＝a，

2111－－－－＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝aebt＝a，ebt＝＝(e8b)3＝e24b，288则t＝24，所以再经过16 min. 思维升华

求解所给函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

(3)利用该模型求解实际问题．

(2015·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关

系y＝ekxb(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192＋小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．

答案

24 be＝192，4811＋解析

由题意得22k＋b∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33kb＝(e11k)3·eb19242e＝48，

13b1＝e＝×192＝24. 2·8题型三

构造函数模型的实际问题

命题点1

构造二次函数模型

例3

将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为(

) A．85元

C．95元

答案

C 解析

设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．

∴当x＝95时，y最大．

命题点2

构造指数函数、对数函数模型

例4

光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y. (1)写出y关于x的函数解析式；

1(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下？

4(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 解

(1)光线通过1块玻璃后，强度y＝(1－10%)k＝0.9k；

光线通过2块玻璃后，强度y＝(1－10%)·0.9k＝0.92k；

光线通过3块玻璃后，强度y＝(1－10%)·0.92k＝0.93k；

……

光线通过x块玻璃后，强度y＝0.9xk. 故y关于x的函数解析式为y＝0.9xk(x∈N*)．

k(2)由题意，得0.9xk<，

411即0.9x<，两边取对数，得xlg 0.9. lg 0.9lgB．90元

D．100元

14－2lg 2－0.602 0－0.602 0又＝＝＝≈13.14，

lg 0.92lg 3－10.954 2－1－0.045 8lg且x∈N*，所以xmin＝14. 1故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下．

4命题点3

构造分段函数模型

例5

(2017·武汉调研)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时) 解

(1)由题意可知当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)200a＋b＝0，＝ax＋b在[20,200]上是减函数，由已知得20a＋b＝60，

a＝－3，解得200b＝3，1

故函数v(x)的表达式为

60，

0≤x<20，v(x)＝1

200－x，

20≤x≤200.3(2)依题意并由(1)可得

60x，

0≤x<20，f(x)＝1

x200－x，

20≤x≤200，3当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x≤20011x＋200－x210 000时，f(x)＝x(200－x)≤[]＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成332310 000立，所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值. 3综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 000≈3 333，

3

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．

思维升华

构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，

将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．

(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时) (2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R1400x－2x2，0≤x≤400，与门面经营天数x的关系是R(x)＝则总利润最大时，该门面经营80 000，x>400，的天数是________．

答案

(1)5

(2)300 解析

(1)设经过x小时才能开车．

由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，

∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5. (2)由题意，总利润

1400x－2x2－100x－20 0000≤x≤400，y＝

60 000－100xx>400，1当0≤x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，

2所以当x＝300时，ymax＝25 000，

当x>400时，y＝60 000－100x<20 000，

综上，门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．

2．函数应用问题

典例

(12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销400－6x，0

x－x2，x>40.(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

思维点拨

根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论．

规范解答

解

(1)当0

当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40) 40 000＝－－16x＋7 360. x－6x＋384x－40，0

－x－16x＋7 360，x>40.(2)①当0

所以Wmax＝W(32)＝6 104；[6分]

40 000②当x>40时，W＝－－16x＋7 360，

x40 000由于＋16x≥2x40 000×16x＝1 600，

x2

40 000当且仅当＝16x，

x即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，

所以W取最大值为5 760.[10分]

综合①②知，

当x＝32时，W取得最大值6 104万美元．[12分]

解函数应用题的一般步骤：

第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；

第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．