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课题：§3.1.1方程的根与函数的零点

授课班级：高一 授课教师：赵洪兵

1.

教材分析

本节课选自高中新课程数学课本必修1第三章第一节第一课时。本章是对前两章内容的总结和拓展，本节内容介绍了函数与方程的关系，第一课时上，通过结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系，体现了函数具有广泛运用的特征，提高了对函数与其他数学内容有机联系的认识。

2．三维目标

2.1知识与技能：

结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

2.2过程与方法

2.2.1掌握判断零点存在性的方法。

2.2.2理解函数零点个数与两函数交点个数之间的关系。

2.3.情感态度价值观

通过零点、根、交点三个概念间相互转化，体会函数与方程思想、数形结合思想，沟通逻辑思维与形象思维，并促进两思维协调发展。

3.重难点分析

重点：零点的概念、零点存在性判断

突破方式：分组讨论、合作探究

难点：零点个数判断

突破方式：数形结合

4.学情分析

作为新高一同学，学习积极性较高，但学习基础较为薄弱，尤其是初高中衔接内容，如因式分解的基本方法掌握的不够透彻。同学学习基础参差不齐，适合于分组合作学习。

5.教法、学法

教法：问题探究教学法

学法：分组合作学习

6.教学准备：常规教学

课型：新授课

课时：40分钟

7.教学过程

【教学设计】. 【温故知新】 时间:5分钟

引入：说明本课时地位及函数与方程的关系。

函数yf(x)可看作二元方程，令y0则可得常见的一元方程【导学指导】

【导学】：

二次函数的y值为0时，就得到了二次方程.在二次图象上，y值为0时，也就是二次函数图象与x轴相交的时候。

课前预习、完成导学案。

f(x)0。

观察86页三个二次函数的图象，思考一元二次方程ax2bxc0(a0)的根与二次函数yax2bxc(a0)的图象的关系.

1、二次方程根的个数与对应二次函数图象上的什么有关？

2、二次方程的根刚好是对应二次函数图象上的什么？

3、任意函数的图象与对应方程的根的有什么关系？

结论：图象上，函数与 轴交点的 坐标，就是对应方程的根. 【探求新知】 时间：5分钟

知识点1：零点概念

函数yf(x)的零点：使得f(x)

的

值.也就是函数在图象上，也就是函数yf(x)与xyf(x)所对应的方程f(x)0的根，轴交点的横坐标. 例1.函数yx(x1)(x2)的零点有 .(解方程) 函数ylnx的零点有 个.（画图象）

函数yex的零点有 个.（画图象）

例2.方程3x3x10在区间[0,1]有无实根？

即函数f(x)3x3x1,x[0,1]有无零点？

知识点2：零点存在性判断

引入：观察yax2bxc(a0)的图象，可知：函数值一正一负之间的图象必与x轴有交点。针对：函数f(x)3x3x1，因为f(0)f(1)0，故3函数f(x)在(0,1)必有零点，即方程3xx10有实根。

零点存在性判断：连续函数在区间[a,b]上有意义，满足 ，则函数f(x)在区间(a,b)必有零点。（区间端点处的函数值异号，该区间必有零点）

【典例讲解】 时间：讲解10分钟、练习16分钟

题型1：零点存在性判断

例3.函数f(x)23x的零点所在的一个区间为

A.(2,1) B.(1,0) C.(0,1) D.(1,2)

※练习※

1、函数f(x)x【导学】：

分组讨论5分钟，讨论【探求新知】，形成小组统一意见。

【师生备注】：

【导学】：

零点附近左右函数值不一定异号。

【导学】：

为什么不说在区间[a,b]上有零点？

认真学习例题解答过程，分组合作完成练习部分。

用时：10分钟

6log2x的零点所在的一个区间为

x2

A.(1,2) B.(2,4) C.(4,8) D.(8,16)

2、函数f(x)ex4x3的零点所在的一个区间为

A.(,0) B.(0,) C.(,) D.(,)

题型2：零点个数判断

例4.（1）判断方程x23x40的根的个数.（解方程）

（2）求函数f(x)lnx的零点的个数.（直接作图）

例5.求函数f(x)lnx2x6的零点的个数.【超越方程一般无解析解】

方法：间接作图。

步骤：构建方程，移项拆分，观察交点。

结论：方程的根、函数的零点和图象上的交点三者可相互转化.方程的根：将；函数的零点：将yf(x)转化为f(x)0，用代数法求解（如判别式）【导学】应用知识点2解题

【师生备注】

141411421324f(x)0转化为yf(x)形式，用零点的存在性判断法求解；图象的交点：将f(x)g(x)转化为f(x)g(x)，用图象法求解. 12例6.（1）函数f(x)x()的零点有 个. 2 （2）方程lnxx4x4的实根有 个. 12x※练习※

1、

判断方程|x|1x2的实根个数. 2、求函数f(x)2xx3的零点的个数. 题型3：综合运用（零点、交点和根相互转化）

※练习※

1、若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间

A.(a,b)和(b,c)内 B.(,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,)内 D.(,a)和(c,)内

3

x22x3,x02、函数f(x)的零点个数为

2lnx,x0A.3 B.2 C.1 D.0 3、函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为

A.0 B.1 C.2 D.3

【小结】零点的概念、存在性定理、零点个数的判断（间接作图法）

【目标反馈】小结时间：4分钟

1、

本节课的目标是否达成？

2、

存在的问题有哪些？

3、有什么收获？

【作业】

课本P88，练习

8.板书设计

3.3.1方程的根与函数的零点

1、零点：使f(x)0的实数x值

2、零点存在性定理：

[a,b]上连续函数f(x)满足：

f(a)f(b)0，则（a,b）存在零点.

9.教学反思

（1）主要问题和教训：

（2）主要经验总结：

（3）改进措施及努力方向：

4