习题3.2教学设计实例

第九节

函数模型及其应用

1．

几种常见的函数模型

函数模型

一次函数模型

二次函数模型

指数函数模型

对数函数模型

幂函数模型

2．三种函数模型性质比较

在(0，＋∞)上的单调性

增长速度

图像的变化

1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．

2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．

[试一试] 1、据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是(

) A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)

B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)

D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

解决实际应用问题的一般步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

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函数解析式

f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) y＝ax(a>1)

增函数

越来越快

随x值增大，图像与y轴接近平行

y＝logax(a>1)

增函数

越来越慢

随x值增大，图像与x轴接近平行

y＝xn(n>0) 增函数

相对平稳

随n值变化而不同

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

[练一练] 2、(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．

考点一

1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(

) 40A．10元

B．20元

C．30元

D.元

3

2．(2013·北京西城区抽检)将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个(

) A．115元

B．105元

C．95元

D．85元

3．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：1y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

2该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

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一次函数与二次函数模型

考点二

分段函数模型

4、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．

考点三

指数函数模型

5、一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当1砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，4已知到今年为止，森林剩余面积为原来的(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

(3)今后最多还能砍伐多少年？

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2. 2

[课堂练通考点] 1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费(

) A．3.20元

C．2.80元

2．(2014·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

x y

则对x，y最适合的拟合函数是(

) A．y＝2x

C．y＝2x－2

3．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是关于经过年数x(0

4．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x2x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为5210吨．

(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

B．y＝x2－1

D．y＝log2x

0.50

－0.99

0.99

0.01

2.01

0.98

3.98 2.00

B．2.90元

D．2.40元

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