3.2.1 对数教学目标设计

课题：3.2.1对数

江苏省苏州实验中学 丁益民

教学目标：

1．从对数发生的历史出发让学生认识到引入对数的必要性，让学生已有认知的基础上了解对数的意义，并经历对数概念的形成过程；

2．帮助学生理解对数的概念，引导学生认识对数与指数的相互联系，会熟练地进行指数式与对数式的互化，体会转化与化归的思想；

3．了解常用对数和自然对数，了解对数的发明历史，培养学生的探究意识和发现问题、分析问题、解决问题的能力．

教学重点、难点：

重点：对数的概念，指数式与对数式的互化；

难点：对数概念的理解．

教学方法：

运用引导发现和讲练结合的教学方法，突出教师的“导”和学生的“探”.

教学过程：

一．情境设置

早在17世纪，航海、天文、贸易迅速发展，人们需要面对越来越繁难的计算，耗费的时间也越来越长.比如天文学里：

299792.458（光在真空中的速度）

×31536000（一年的秒数）=1光年（？）

为此，数学家们不断探索研究优化运算的方法，这其中不得不提苏格兰数学家纳皮尔，他在研究这样的问题时感慨到：“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了.这不仅浪费时间，而且容易出错.因此，我开始考虑怎样消除这些障碍.经过长久的思索，我终于找到了漂亮的简短法则……”

二．数学活动

活动1：模拟数学家研究“对数”的想法

下面，我们模拟一下数学家的研究历程：

师：不用计算器，面对这样的运算，将遇到很大的麻烦.但我们注意到16可以表示成24，256可以表示成28……，我们可以制一张表（见下表），由于16×256=24×28=212，这样我们就可以通过请计算：

（1）16256= （2）2564096= （3）409632768=

- 1 -

查表，在表中找到212的值，其他类似.这样做的好处：将两个特别大的数相乘转化为两个较小的数相加，从而就可以达到简化运算的效果. x

1 2 11 2048 19 2 4 12 4096 3 8 13 8192 4 16 14 16384 20 5 32

15

6 64 16 7 128 17 8 256 9 512 18 10 1024 2x

x

2x

x

32768 65536 21 2097152

26 67108864

31 2147483648 131072 22 4194304 27 134217728 32 4294967296 262144 23 8388608 28 268435456 33 8589934592 2x

x

524288 24 16777216 29 536870912 1048576 25 33554432 30 1073741824 2x

x

2x

活动2：借鉴以往学习“开方”的过程类比“对数”的发生

按照上面的过程，我们若找到两个数m、n，使2m=299792.458 ，2n=31536000，那么我们就可以大大优化运算. 问1：这是一个什么方程？

——已知底数和幂，求指数. x为了研究的方便，我们取数值小点的类似问题，比如：23x？

其实，在以前的学习中，我们也遇到类似问题：

问2：在初中，在学习开方运算时，遇到“x2”这样的问题，这又是一个什么方程？

——已知指数和幂，求底数.

回忆一下，当时是如何解决这个问题的呢？

为了解决这个问题，我们引入了开方运算，由于未知数x的取值由指数3和幂值2共同确定，我们引入了一个新的符号“”，将“”与2和3结合在一起来表示一个数32,这33个数的意义就是能使方程x2成立.

问3：能不能类比“开方运算”的研究过程，来解决刚才的问题？

x

类似地，23中的未知数x是由底数2和幂值3共同确定，我们也可以引入一个新的符

- 2 -

x号，将它与2和3结合在一起来表示一个数，这个数的意义能使23成立.

实际上，数学家纳皮尔就是用“log”这三个字母作为表示新数的符号，将它与2，3x结合在一起.因此，在问题“23”中，就可以用log23表示使该方程成立的x的取值.读作：以2为底，3的对数.像这样的数，我们称之为“对数”（板书）.

活动3：由特殊到一般，逐步归纳、抽象出“对数”概念

问题4：你还能写一些对数吗？

34814log381

4010log41

42121log42

23b＝10b＝log310; 43＝N3＝log4N; a3＝7b＝loga7;

……

如果将上述指数式中的底数，指数，幂全部换成字母，即a

=Nb=logaN.（指明：根据前面指数的学习，我们知道：这里的a＞0，a≠1. ）

三．数学建构

b定义

一般地，如果a(a0,a1)的b次幂等于N，即aN，那么就称b是以a为底N的对数（logarithm），记作logaNb,其中a叫做对数的底数(base of logarithm)，bN叫做真数(proper number).

师：b叫做以a为底N的对数，a叫做对数的底数，N叫做真数.

(教师边讲边在黑板上标示.) 问：在指数式中，a,b,N的名称叫什么？

学生回答指数式中的字母名称，教师完成上述连线图. 四．概念理解

活动4：多维度理解“对数”

- 3 - 指数—对数abN底数—底数logaNb幂—真数

【第一阶段】体会“对数可以转化为指数，对数式和指数式是等价的”.

师：大家都在积极地认识对数这个新朋友.我们一起来看看，有同学写了这样一个对数log327.你知道它是个什么样的数吗？

师：为什么等于3呢？

——因为33 =27.

log327=333 =27

——把对数式转化为相应的指数式，就容易理解了.

同学们能不能写一些对数式将它转化为指数式？

【小结】其实想要认识同学写的对数，只要将它转化为相应的指数式就明白了.通过刚才的认识过程，我们可以得到指数式和对数式是可以相互转化的.

指数—对数aN底数—底数b互化logaNb幂—真数

【第二阶段】进一步认识对数——各个字母取值

师：大家看这几个对数是大于0的，有没有小于0的对数啊？

111——有，log2=-1，

log4=-1. log4=-3…….

2464师：有没有等于0的对数呢？

——log31=0，log110，……

2师：有很多，怎么表示？

——loga1=0(a>0，a≠1).

师：为什么？

——因为a0＝1(a>0,a≠1).

师：对数可正可负可为0，那对数是否能取到所有的实数呢？

——从指数式a

=N(其中a＞0且a≠1)中我们可以知道. 师：对数b可以取到一切实数，底数a＞0，a≠1，真数N应满足什么要求？

——大于0.

整理得：

- 4 - b

在对数式logaNb中，

（1）底数a＞0且a≠1；

（2）对数b属于一切实数；

（3）真数N大于0. 【小结】通过讨论，我们认识了一些特殊的对数，知道对数b可以取到一切实数，但是真数N必须大于0.在认识对数的过程中，我们运用了对数式与指数式之间的等价转化. 【第三阶段】知识应用——求值

下面请看练习. 师：第一题值为多少？你是怎么想的？

（如果有同学知道答案，请他解释，重点问他怎么想到的.如果学生不知道怎么做，启发：根据我们前面认识对数的方法，遇到一个新的对数问题我们应该怎么做？转化为指数式.) 板书：（1）解：由264，得log2646. 学生板演：（2）log10

（3）log76

例题：求下列各式的值：

（1）log264；

（2）log10

（3）log1；

1002；

2

（4）log927. 1；

1007；

对于第（4）题可能学生存在困惑，可引导将对数式转化为指数式进行思考.

【第四阶段】认识两个“宠儿”——常用对数、自然对数

师：大家看第2小题底数是10，我们通常将以10为底的对数叫常用对数，简记为log10

N＝lg N．比如log1012简记为lg12，log100.84简记为lg0.84.

在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数（natural

- 5 - 板书

解：设xlog927，根据对数的定义知

927,

即3

x2xx33，得2x3，

3，

2

所以log9273

2

logarithm）.e2.71828是一个无理数.正数N的自然对数logeN一般简记为lnN，如loge2,loge15分别记为ln2,ln15等. 师：同学们，“常用对数”“自然对数”这两个特殊对数的名称很特别.为什么称之为常用对数？自然对数又自然在哪里？对这个内容感兴趣的同学，老师向大家推荐两本课外阅读书《不可思议的e》和《漫话e》，从中你一定能找到答案.

五．课堂小结

数学家探索“对数”

的过程模拟

常用对数lga

自然对数lna

对数

（同一关系，两种形式）

以往学习“开方”的

经验借鉴

底数a0,a1

真数N0

六．作业布置

布置作业：课本79页：习题3.2（1）感受理解

1,2,3,4

abN

logaNb

运算

性质

函数

模型

- 6 -