信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆名师教学实录

教学基本信息

课题

图形的伸缩

是否属于

校本课程

地方课程或校本课程

学科

相关

领域

教材

设计者

实施者

指导者

课件制作者

其他参与者

指导思想与理论依据

解析几何从诞生之日起，就预示着代数与几何的结合.英国数学家阿蒂亚在《数学的统一性》中就代数与几何的关系有过这样的论述：“几何是数学中这样的一部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中的有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另一对词刻画更好，即洞察对严格，二者在真正的数学研究中都起着本质的作用”. 关于几何在教育中的意义和作用，阿蒂亚也有非常精彩的论述，阿蒂亚说：“几何与代数在教育中的意义也是非常清楚的，我们的目标应该是培养学生这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的.”

曲线与方程的关系是解析几何中非常重要的内容，深刻地理解二者之间的关姓名

吴斯威

吴斯威

李红

教学设计参与人员

单位

北京市第二十二中学

北京市第二十二中学

北京市第二十二中学

联系方式

13810252604 13810252604 13683224193

数学

学段：

高二

年级

高二

高中数学解析几何

书名：高中数学选修2-1

出版社:人教A版

出版日期：

2008年5 月

系会非常有助于学生认识解析几何的学科本质、理解解析几何的研究方法和研究内容. 本节课以研究图形的伸缩变换为切入点，研究图形发生形变时代数结构的变化.从而发展学生对几何与代数的认识，体会二者在数学研究中起到的作用.兼容并蓄的培养学生这两种思维模式.

教学背景分析

一．教学内容分析：

（一）从学科发展的角度分析本节课的学习内容

几何学的发展从最古老的欧式几何，到17世纪的文艺复兴时期出现的笛卡儿的解析几何，把代数方法应用于几何学，实现了数与形的相互结合与沟通，使得几何学的发展从古典几何走向了现代几何.了解几何学发展的历史，可以使我们更好地站在历史的角度理解高中几何学习的几个阶段和几何课程体系的结构，理解解析几何的学科价值与教育意义. 本节课，从学生最熟悉的应用软件发展出对本节课研究对象的认识，能够迅速地把学生引入到问题当中来.自然过渡到对比较简单的图形“圆”的研究.进而通过软件实现对图形在几何形态上的压缩或拉伸，观察图形的变化培养学生的直观感受，发展直观想象的核心素养.进而将图形与方程联系，学生从用方程研究曲线的几何性质的过程中，进一步感受解析几何的研究方法和研究内容的特征，领略到解析几何在数学发展史中的价值. （二）

从课程发展的角度分析本节课的学习内容

从初中平面直角坐标系的学习，建立了点与数对的对应关系开始，学生便对解析几何有了最初的认识.在初中、高中函数学习的过程中，学生经历了从函数解析式和图象等不同的角度研究数学问题的过程，数形结合的思想方法也在这样的过程中不断地渗透.高中阶段解析几何的进一步学习，使学生体会曲线与方程之间的关系，本节课在前述问题的基础上进一步从变换的角度，感受解析几何的研究方法.在学习过程中，使得数形结合的思想方法得到进一步的提升. （三）

从学生发展的角度分析本节课的学习内容

教学设计不仅要注意与过去所学知识的衔接，还应该起到指向未来的作用，

不仅是指向学科的未来，作为基础科学的数学学科，还应该将目标指向学生未来的各方面发展.本节课要使数学和生活联系起来，让学生们切实的看到数学在现代生活中发挥了越来越重要的作用，这不仅仅体现在科学的发展上，同时也渗透到生活中的各个角落.在教学中通过实际例子与熟悉的数学研究对象建立的联系，培养学生用数学的眼光看待生活中的问题，用数学的思考和数学的技能解决生活中的问题，使学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等学科素养可以得到进一步提升和发展.

二．学生情况分析：

我授课的对象是高二的学生，这个班是我校的普通班，平均中考成绩516（2017年标准）.全班32人其中有7人是我校乐团、球队直升学生.同时本班女生占到总人数的三分之二. 所以我希望用一种他们熟悉的方式引进我的这节数学课，让他们在学到数学知识提升数学技能的同时，只要一用到那些手机软件，一看到那些图片和视频就能联想到我们今天的数学课. 同时孩子们从高一开始就接触了图形计算器，几何画板等软件，借助技术研究数学问题并不陌生.

三．教学方式、教学手段的说明：

根据学生的情况，本节课采用信息技术支持下的探究式教学方式. 鼓励学生在研究曲线与方程的过程中，不断地自己发现问题、提出问题，尝试着用不同的方法分析问题、解决问题，从而进一步感受曲线与方程的对应关系. 图形计算器的功能可以在学生推理分析遇到困难时提供帮助，能够容易地进行伸缩变换，得到想要的图形，也可以根据方程快速绘制出曲线，直观观察曲线的几何特征，有利于学生理解方程的代数结构与曲线几何性质之间的对应关系.

四．前期教学状况、问题、对策的说明

1.前期教学情况的说明

这个班从高一入学，就有意识地引导学生建立几何形态与代数结构的对应

关系，在函数学习的过程中，学生通过函数解析式和图象理解变量之间的对应关系，研究函数性质. 在必修二与选修2-1的解析几何内容的学习中，学生已经基本掌握了解析几何的研究方法，随着学习进程的推进，利用不同的知识载体椭圆、双曲线、抛物线，反复体会圆锥曲线与其标准方程之间的对应关系. 2.问题及对策的说明

本节课主要研究图形的伸缩变换，是学生不熟悉的内容，学生缺乏用代数方式描述伸缩变换的经验，因而可能会对部分学生带来一定的困难. 尽管这是一节极具挑战的课，但是对学生来说也是一次很好的再次领略解析几何的风采和魅力的机会.

针对问题采取的对策是教学设计中注意问题的设置尽量有利于学生借鉴原有的研究经验，另外在课堂上在与学生的对话中注意捕捉学生的闪光点，引导学生的探究活动.

教学目标与重点难点

教学目标：

1、知识与技能:

学生经历在技术支持下数学问题的探究，进一步理解曲线与方程的关系，体会几何与代数的紧密联系，提升在数学研究中应用信息技术的能力. 2、过程与方法: 通过对学生解决问提过程的分析与讨论，引导学生完善自己的思考，体会解析几何的研究方法和信息技术在数学研究中的作用，提升对解析几何研究方法的理解与认识. 3、情感态度与价值观: 基于学生兴趣，培养学生用数学的眼光观察生活，用数学的思维理解和分析生活中现象的习惯.培养数学建模和逻辑推理的核心素养. 教学重点：

1.通过平面直角坐标系建立图形与方程的联系

2.得出坐标运算与图形变化之间具有联系的初步认识

教学难点：

1.合理的建立数学模型

2.将图形的变化用数学化的方式表达出来

3.提炼编写程序的核心语言

问题框架

1.

研究顶点在A(2，2)B(-2，2)C(-2,-2)D(2，-2)所对应的正方形，经过纵向压缩和拉伸得到的曲线方程有什么特征？

2.

研究曲线

在竖直方向向x轴压缩或拉伸

倍曲线有什么几何特征？

3. 研究曲线

在竖直方向向x轴压缩或拉伸

倍曲线有什么几何特征？

教学过程

教学教师活动

内容

第提出观看图片，直观感受观察，体会数学在生活中的无处提出生活中的学生活动

设计说明

一问题

修图软件使得被拍不在.思考问题，提出自己的看法. 部分

照的人或物产生了确定研究方法. 形变，教师引导学生将实际问题数学化的一般方法数学问考虑修图软件是怎是借助平面直角坐标系建立点与坐题，学生样将物体进行适度标的关系.将图形问题数字化.

形变的？

提出问题：数字化设备是怎样帮助我们完成图形变化的？

提出问题1：数

从最基体会生活中数学的作用. 字化设备是怎样帮学生通过研讨得出

到本的图助我们完成图形变

满足，

，

.

形入手，

化的？从最简单的问题入手提出

问题1：线段和正方形在水平方向上向x轴压缩一半的图形.

问题2：研究如何将学生通过图形计算器直观观察，研讨定点在（2,2）（-2,2）得出

到

满足，（-2，-2）（2，-2）的正方形在竖直方向向x轴压缩一半.

，

.

由浅入深的研究压缩问题.

第探究问题3：研究方程研究问题3：通过图形计算器进行观学生经二新知

所对应察讨论，观察画图过程. 部分

历了观的圆纵向压缩一半

点P是圆O：

上的动察想象、对应的几何图形以点，做PH垂直于x轴于点H. 及他对应的曲线方程.

提醒学生必要推理、借求：线段PH中点M的轨迹方程，助技术并指出它是什么图形. 手段验学生通过建系计算容易得到点证观察的时候借助技术支M的轨迹方程是

.由此得猜想、再

持，使用图形计算器. 知M的轨迹方程是长轴为4，短轴为2的椭圆. 在研究过程中学生还可以通过图形计算器进行图形的压缩，得到满足题意的轨迹.

进一步通过运算推理分析的研究过程.

第提出引导学生提出学生问题可以落实为两个层面的问在新问题面前，鼓励学三新问自己感兴趣的问题.题：

部题作可以在横纵两个不第一、特殊化的问题

分

进一同方向上对圆进行

若将问题一中纵向压缩为原来生大胆

步的压缩或拉伸，

的一半，变成纵向拉伸成原来的2猜想，借研究

同时提醒学生关注倍，则M的轨迹变为什么图形，其用技术技术的使用带来的轨迹方程是什么？

的支持新的问题，引导学生学生通过技术手段不难得到轨迹的进行实最后回到代数推理，形状仍然是椭圆，再经过运算得到M验，验证同时提醒学生进行的轨迹方程是

.

必要的分类.

提醒学生应用图形计算器观察，分析绘图语言. 第二、一般化问题

进一步的学生还可以研究点M在竖直方向上向x轴压缩或拉伸

倍（

且

）时，M的轨迹方程. 更进一步学生如果能提出研究圆

在水平和竖直两个方向上的压缩或拉伸，就更好.可以引导学生先借助图形计算器进行直观观察与想象，再对圆方程进行合理的推理证明.此处需注意椭圆的长短轴位置，进行分类讨论. 第总结在前述问题的学生通过直观观察可以定性的激发学自己的猜想，再推理论证.

四反思

基础上，引导学生提分析将椭圆进行竖直、水平两个方向生的研部及课出若由椭圆出发，如的压缩可以得到想要的圆，再通过建究热情，分

堂小何能够得到圆的图立轨迹方程运算可以得到缩小的倍理解数结

形？提醒学生应用数. 图形计算器观察，分析绘图语言. 学学科的分析问题解决问题的一般思想方法.

第课后鼓励学生选择自己学生继续思考，提出新的问题. 开放性五学习感兴趣的问题进行课后问题：椭圆

在竖直和的作业

部建议

研究，恰当借助信息分

技术. 水平方向上怎样伸缩可以得到圆

. 根据自己的具体情况完成课后的学习任务

学习效果评价设计

本节课在信息技术的支持下，学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的探究过程，不仅进一步理解了曲线与方程的对应关系，而且还深刻体会解析几何的研究方法和信息技术在数学研究中的作用. 从学生课上的积极参与、踊跃发言，可以看出学生的积极性非常高，取得了非常好的教学效果.课后学生能主动地研究自己感兴趣的问题并提出了一些新的问题就是良好的教学效果的最好的说明.

本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点

1.

构思独特——提高学生数学素养

本节课的独特之处在于：

（1）从学生身边的问题入手. （2）与以往数学课的公理化思想不同，先进行试验，应用信息技术编辑任可以更好地尊重学生的意愿.满足学生的发展需求.

务问题中的图形和轨迹，再根据编辑的结果分析编辑过程，挖掘应用数字化手段进行图形伸缩的共同特征. 2.

安排巧妙——尊重学生发展需求

本节课安排巧妙在于从简单问题出发，不断地提出新的问题，激发学生的研究热情，顺应学生的探究愿望，自然流畅.不仅立足于满足学生当下的几何学习的需求，更考虑到开阔学生的视野，使较为优秀的学生能跳出高考、摆脱成绩的束缚，能具有发现身边数学问题的慧眼，保有一颗难得的好奇心.

另一个是信息技术的使用上，尊重学生的个性需求.既鼓励学生借助信息技术更好地直观观察，有助于想象分析、抽象概括，又特别强调恰当使用技术，强调以运算为基础的代数推理.