3.2.2 对数函数教学设计(第二课时)

适用学科

适用区域

知识点

教学目标

高中数学

苏教版区域

适用年级

课时时长（分钟）

高一

2课时

对数的概念、对数的运算、对数函数的概念、对数函数的图象与性质

理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化．

理解对数函数的概念，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．

能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质．

教学重点

对数的概念；

对数式与指数式的相互转化．对数函数的定义、图象和性质；

对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小

对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．

教学难点

对数性质的理解．底数a对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小

【知识导图】

教学过程

一、导入

对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)的理解．在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响)是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解．

二、知识讲解

1

对数的概念

考点(1)对数的定义：

如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．当a＝10时叫常用对数．记作x＝lg_N，当a＝e时叫自然对数，记作x＝ln_N. (2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：

①loga1＝0. ②logaa＝1. ③对数恒等式：alogaN＝N. logcb④换底公式：logab＝. logca1推广logab＝，logab·logbc·logcd＝logad. logba(3)对数的运算法则：

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

M①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；

Nn③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝logaM. m

考点2

对数函数的概念

(1)把y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

(2)函数y＝logax(a>0，a≠1)是指数函数y＝ax的反函数，函数y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)的图象关于y＝x对称．

考点3

对数函数的图像与性质

y＝logax a>1

0

定义域：(0，＋∞)

值域：R

过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y<0当00 在(0，＋∞)上是减函数

性质

当x>1时，y>0当0

三

、例题精析

类型一

对数运算

例题1

计算

（1）(lg2)lg2lg50lg25；

（2）(log32log92)(log43log83)；

lg5lg8000lg60012(lg21232（3）)2。

lg0.036lg0.1

【解析】：（1）原式(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5

(11)lg22lg52(lg2lg5)222；

lg2lg3lg22lg3)(lg32lg2lg33lg2)（2）原式(lg2lg3lg2lg9)(lg3lg4lg3lg8)(

3lg22lg35lg36lg254；

（3）分子=lg5(33lg2)3(lg2)3lg53lg2(lg5lg2)3；

36100011061002分母=(lg62)lglg62lg4；

原式=34。

【总结与反思】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。

类型二

判断对数函数

下列函数表达式中，是对数函数的有( 例题1

) ；③ygol8①ylog⑥y2log4xx2；②ygol(axaR)x；④ylnx；⑤ygol(x)2x；；⑦ylog2(x1)．

A．1个

B．2个

C．3个 D．4个

【解析】根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数虽为2，但可变形为y＝log2x，∴⑥也是对数函数；只有③、④、⑥符合对数函数的定义．

【总结与反思】

判断对数函数的关键在于了解自变量的位置，底数的取值范围。要学会题目的多变性，了解对数函数的定义，从而解决问题。

类型三

底数对对数函数图像的影响

如图是对数函数①ylogax例题1

，②ylogbx，③ylogcx，④ylogdx的图象，则a,bc,d与1的大小关系是(

)

【解析】解法一：观察在x轴上方的图象，从右至左依次为②①④③，故b>a>d>c. 解法二：在上图中画出直线y＝1，发现分别与①，②，③，④交于A(a,1)，B(b,1)，C(c,1)，D(d,1)四点，由图可知c

四

、课堂运用

基础

1.

下列大小关系正确的是（ ）

A、0.4330.4logC、log0.30.4340.30.4 B、0.43log D、log40.330.40.4

4340.330.432.求函数yx24lg(x22x3)x310的定义域. 3.为了得到函数ylg的图像,只需把函数ylgx的图像上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

答案与解析

1.【答案】log40.30.43330.4

1【解析】由

02.【答案】{x0.41,30.4,log40.30,故可得：log

40.30.4330.4. |x15,或15x3,或x2}【解析】要使函数有意义，x必须满足

x240x22x30x22x31x2,或x2x3,或x1x3且x1x155,或x2

原函数的定义域为{x|x15,或15x3,或x2}

3.【答案】C

【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A选项可得：yB选项可得：yC选项可得：yD选项可得：y故应选C.

巩固

f(x)log1xalgxxxx31lg10x331lg1031lg, , lgx3lgx310, . lg31lgx3101.

已知函数(1)求

(a0,a1). 1xf(x)的定义域; f(x)(2)判断并证明的奇偶性｡

2.

已知2+a,x0f(x)log2(x1),x0f(x)x , (1)当a=1时,画出函数(2)当a32的图像; . 时,解不等式y2-f(x)>2-1-|

|-2|-1O-1-12||34x|3.

(1)loga3logalog5a求下列各式中a的取值范围：

，则a ________；

，则a ________. (2)log5答案与解析

1.【答案】1,1 奇函数

【解析】(1)∵1x1x0,∴ -1

f(x)loglog1xaf(x),

f(x)1x1x为奇函数｡ 【解析】(1)解:如图; y2--1- ||||||-2-1O-1-1234x(2)f(x)>2同解于: x0x3>22+2x0或log2(x1)2

即13 所以原不等式的解集是: {x|-13}.

3.

【答案】(1)(1，＋∞) (2)(π，＋∞) 【解析】略

1.设函数f(x)log2(4x)log2(2x),(1)若t(2)求log2x

拔高

14x4, ,求t取值范围; f(x)的最值，并给出最值时对应的x的值。

答案与解析

1.【答案】同解析

【解析】(1)由x－2＞0，x－3≠0，得x＞2且x≠3，

∴定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．

(2)由16－4x＞0，x＋1＞0，x＋1≠1，即4x＜16，x＞－1，x≠0，

解得－1＜x＜0或0＜x＜4.

∴定义域为(－1,0)∪(0,4)．

五

、课堂小结

1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．

2．对数值取正、负值的规律：

当a>1且b>1，或00；

当a>1且01时，logab<0. 3．对数函数的定义域及单调性：

在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．

六

、课后作业

基础

1.函数ylogax的图象如图所示，则实数a的可能取值是(

)

111A．5 B. C. D.

5e2

2．函数f(x)1lgx2x定义域为(

) B．(0,2) D．(－∞，2] A．(0,2] C．(0,1)∪(1,2] 3.函数ylog12x,x(0,8]的值域是(

) B．[3，＋∞) D．(－∞，3] A．[－3，＋∞) C．(－∞，－3]

答案与解析

1.【答案】A

【解析】略

2.【答案】C

x＞01【解析】使f(x)＝＋2－x有意义满足lgx≠0lgx2－x≥0∴0＜x≤2且x≠1，故选C.

3.【答案】A

【解析】∵0

x≥-3，故选A.

巩固

1．已知loga341，那么a的取值范围是(

) 3B．a<0或

4（a23A．01

43C．a>

4

2．设函数2f(x)logax20且a1），若f(x1x2x2012)8，则f(x1)f(x2)f(x2012)的值等于________．

答案与解析

1.【答案】同解析

33【解析】

loga<1，即loga1时，1. 433当0a，∴01. 4

2.【答案】同解析

【解析】由4x所以

M3x20即

(x1)(x3)0得1x3, x|1x3 由f(x)2x24x(2x)2422(2x2)24 QxM

当

1x3时02x26

32f(x)4 所以

函数

拔高

fx的值域是32,4 1.设函数f(x)log2(4x)log2(2x),(1)若tlog2x14x4, ,求t取值范围;

(2)求

f(x)的最值，并给出最值时对应的x的值。

答案与解析

1.【答案】同解析

【解析】

（1）tlog22x,14x4log12tlog424即2t2

（2）fx(log2x)3log2x2

2yt令tlog22x，则233t2t2314

14当t32即logx32,x22时，

fxmin

当t2即x4时,fxmax12