3.2.2 对数函数课时教案

幂函数中的三类讨论题

在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，下面我们将一起来学习幂函数中的三类讨论题．

类型一：求参数的取值范围．

例1

已知函数f(x)x2m并确定f（x）的解析式．

分析：函数f(x)x2m22m3（m∈Z）为偶函数，且f（3）

解：∵f（x）是偶函数，∴2mm3应为偶数．

又∵f（3）

2352m2m31．

3．

2∴2mm30，解得1m

又∵m∈Z，∴m=0或1．

当m=0时，2mm33为奇数（舍去）；

当m=1时，2mm32为偶数．

故m的值为１，f(x)x．

类型二：求解存在性问题．

例2

已知函数f(x)x，设函数g(x)qf[f(x)](2q1)f(x)1，问是否存在实数q（q<0），使得g（x）在区间（－∞，－4］上是减函数，且在区间（－4，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．

解：∵f(x)x，则g(x)qx(2q1)x1．

假设存在实数q（q<0），使得g（x）满足题设条件，

442

设任意x1，x2且x1x2，则g(x1)g(x2)qx1

(2q1)x12qx2(2q1)x22(x1x2)(x2x1)[q(x12x2)(2q1)]．

2422222

若x1，x2∈（－∞，－４]，易知x1x20，x2x10，要使g(x)在（－∞，－4］

22上是减函数，则应有q(x1x2)(2q1)0恒成立．∵x14，x2≤4，

222∴x1x232．而q0，∴q(x12x2)32q．

22

从而要使q(x1x2)2q1恒成立，则有2q1≥32q，即q≤1．

30

若x1，x2∈（－4，0），易知(x1x2)(x2x1)0，要使f（x）在（－4，0）上是增22函数，则应有q(x14x20，

x2)(2q1)0恒成立．∵4x10，222

∴x1x232，而q0，∴q(x12x2)32q．

22

要使q(x1x2)2q1恒成立，则必有2q1≤32q，即q≥1．

30

综上可知，存在实数q1，使得g(x)在（－∞，－4］上是减函数，且在（－4，300）上是增函数．

类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况.w.w.

例3

讨论函数y(kk)x2k22k1在x0时，随着x的增大其函数值的变化情况．

分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．

2

解：（１）当kk0，即k0或k1时，y0为常函数；

（２）当k2k10，即k12或k12时，此时函数为常函数；

2kk0，

（３）当2，即0k12时，函数为减函数，函数值随x的增大而k2k102减小；

2kk0，

（４）当2，即k1或k12时，函数为增函数，函数值随x的k2k10增大而增大；

2kk0，

（５）当2，即12k0时，函数为增函数，函数值随x的增大而k2k10增大；

2kk0，

（６）当2，即1k12时，函数为减函数，函数值随x的增大k2k10而减小．