小结与思考优秀教学实录

第一章

全等三角形复习——角含半角模型

【教学目标】

知识与技能

（1）理解角含半角的含义，知道四边形角含半角模型中的三个条件。

（2）会用截长补短法或旋转法证明三条线段之间的和差关系。

过程与方法

（1）在问题迁移的过程中不断完善对四边形角含半角问题的认识。

（2）通过类比特殊角中角含半角的方法，得到一般条件下角含半角问题的解决方法，培养学生知识迁移的能力。

情感态度价值观

（1）体会数学问题中的从特殊到一般的思想方法，学会从特殊情况入手找到解决问题的突破口。

（2）感受截长补短法和旋转法在解决四边形角含半角问题中的区别与联系。

【教学重点】

（1）角含半角的条件、方法、结论

（2）截长补短法或旋转法证明线段的和差关系

【教学难点】

半角在形外的角含半角

【教学方法】

讲练结合；讨论交流

【教学过程设计】

教

学

环

节

（一）

教

学

内

容

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，

教

师

学

生

活

动

活

动

设

计

意

图

∠BAD=90°，∠EAF=45°，∠B=∠D=90°，

请探究线段BE、EF、DF之间的数量关系.

教师

提出

问题1：条件中哪里体现角含半角？

∠BAD=90°，∠EAF=45°

结合条件，通过分析特殊角90°内含45°，初步感受如何结合条件来寻找BE、DF与EF之间的关系.

问题，

学生引导

思考并举手回答问题.

问题2：三条线段可能存在什么数量关学生

思考.

问

题

系？猜想：BE+DF=EF

引

入

方法：“补短”

①延长CF至G，使DG=BE. ②证明△ABE≌△ADG. ③证明△AEF≌△AGF. 结论：①AF平分∠EAG. ②EF=BE+DF

与学生一起总结.

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，

学生用类比的

学生通过书写过程，感受如何用“补短”法证明结论.

抓住问题中两个核心，①AF是角平分线. ②两次全等（SAS）. 用类比的方法加以证明.

∠BAD=60°，∠EAF=30°，∠B=∠

D=90°，求证：BE+DF=EF.

让学生方法类比

尝试90°含书写45°的60°方法来中含证

明.

30°的证明过程.并

思考（二）

问题1：AF还是角平分线吗？

问

题

AF是角平分线

迁

移1 问题2：BE+DF=EF还成立吗?

成立

追问：将∠BAD=60°，∠EAF=30°

改为∠BAD=80°，∠EAF=40°呢？

问题1：AF还是角平分线吗？

AF是角平分线

问题2：BE+DF=EF还成立吗? 成立

思考条如何件改变在后上述90°结论是含否变.

改45°的过程上修改.

（三）

问

题

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，

∠EAF=

∠BAD，∠B=∠D=90°，

求证：BE+DF=EF.

思考

体会特殊与一般的关系，并能从特殊角出发找到解决一般化问题的思路.

感受条件在变但结论没有变化，并思考其中的原因.

从特殊如何角的半在特角关系殊角到任意60°角的半含关30°问题：将条件一般化，角含半角的两个角迁

移2 角不是特殊角，结论还成立吗？

系，思的证考上述明过结论是程上

方法：延长FD到G，使DG=BE.

结论成立：

①AF平分∠EAG. ②EF=BE+DF

否依然修改成立.

得到本题的过程.

（四）

问

题

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，

∠EAF=

∠BAD，∠B+∠D=180°，

求证：BE+DF=EF.

思考为什

继续探索四么∠B 边形中角含与

半角的一般条件，感受角含半角问题的本质并巩固解决问题的方法.

再将焦∠D 问题：再将条件一般化，四边形的一组对点聚集为角互补，结论还成立吗？

结论成立：

①AF平分∠EAG. ②EF=BE+DF 到四边90°形的对也可角上，以一∠B 与

∠D 般化为两角互迁

移3

总结1：（引入旋转）

为90°补，以

在上一题的结论上进行修改，体会特殊与一般的关系.

上面我们统一用了“补短”的方法解决了也可以及为角含半角问题，而“补短”的实质是得到一般化什么与△ABE全等的三角形，除了补短我们还为两角条件可以通过旋转直接得到与△ABE全等的三互补. 角形.方法如下：

再次变化后结论为什么不变. 将△ABE绕点A旋转使得AB与AD重合，

则∠ADG+∠ADF=180°，点G、D、F三点

共线. 后面的证明与“补短”法一致.

（五）

问

题

总结2：四边形中的角含半角条件：

①

∠EAF=

∠BAD，

②

AB=AD ③

∠B+∠D=180°

学生

培养学生的总结概括能力.

再次引入90°角与45°角，让学生再从特殊角出发探索三条线段的关系. 感受“截长”与“补短”的异同. 感受证明三点共线与之前方法的异同.

提出问总结题引发条件学生思和方法.

先观察三

总结3：解决四边形中的角含半角方法：

考. ①

补短——两次全等（SAS）

②

旋转—三点共线—一次全等（SAS）

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠

BAD=90°，∠EAF=45°，∠B=∠D=90°，

点E、F分别在BC、CD的延长线上.请探

究线段BE、EF、DF之间的数量关系. 当45°条线角在段的

FAD90°的长短外BCE侧再思

时，上考如方法：类比形内角含半角的“补短”法在述结论何类BE上截取BG=DF.（旋转也可以）

是否变比之化？

前方法解决问题. 迁

移4

结论：①AE是角平分线.

②EF+BE=BE.

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，

∠EAF=

∠BAD，∠B+∠D=180°，

点E、F分别在BC、CD的延长线上，

请探究线段BE、EF、DF之间

的数量关系.

再次感受条件从特殊到一般后，特在特殊

角的基条件础上探一般索一般化后，殊与一般的情况下如何的论.

结在90°含关系，寻找到解决问题的一般方法.

体会从形内到形外的改变带来的结论上的变化.

（六）

问

题

迁

移5 方法：①在BE上截取BG=DF. 类比上45°②将△ADF绕点A旋转使AD与AB述特殊的过重合，则点F落在BE上的G点.

结论：①AE是角平分线. ②EF+BE=BE.

角的方程中法利用进行“截修改

长”或得到旋转的本题方法解的过决题.

问程.

（七）

课

堂

小

结

1、“角含半角”具备哪些条件？

通过总结反思，深化知识理解，完引导学学生2、解决

“角含半角”常用的方法有哪生些？

3、“角含半角”有什么结论？

回回顾、善知识结顾、总总结、构，领悟思结.

反思.

想方法，提高认知能力.

【教学反思】

本节课以全等三角形为工具，重点解决四边形中角含半角问题。

本节课的设计思路如下：

①用特例引出问题（90°内部含45度且一组对角都是90°）；

②将条件90°与45°一般化（任意角内部含其半角）；

③再将条件一组对角都是90°一般化（对角互补）；

④得到四边形角含半角问题中的三个条件：小角是大角一半，一组对角互补，四边形一组邻边相等；

①、②、③、④都是用“截长补短”法解决问题，在此基础上引出“旋转”法。

⑤再次用特例引出半角在外部情况（90°外部含45度

）；

⑥将条件90°与45°一般化（任意角外部含其半角）。

在方法上，先重点讲解如何用“截长补短”法来探索三条线段的

和差关系，在学生已经会用“截长补短”法的基础上，再分析“截长补短”法的本质是将三角形整体旋转到另一个位置，这样顺其自然地引入了“旋转”法，并区别两种方法在做题过程中的异同。“截长补短”：两次SAS全等；“旋转”：旋转——三点共线——SAS全等。

考虑到本节课内容含量较大，解答过程较多，而又必须让学生学会如何用“截长补短”法和“旋转”法来解决问题，所以我一个新的问题都启发学生如何在上一个问题过程的基础上进行适当修改从而得到新的解答过程。这样一来，不仅节约了学生书写的时间，还让学生充分感受到前后问题之间的联系。

最后，在教学过程中充分利用从“特殊”到“一般”的关系，教会学生如何从“特殊”情况出发，找到“一般”情况下的入手点。