6.4 用一次函数解决问题教学设计模板

6.4用一次函数解决问题

教学目标

1.根据给定的信息建立一次函数模型，将实际问题转化为数学问题。

2.结合一次函数的图像与性质求解，进一步感受“数形结合”的思想方法——从一次函数图像中读取信息。

3.通过对具体问题的分析，让学生感受数学在现实生活中的意义，增强应用数学知识解决实际问题的意识和能力。

教学重点

根据给定的信息建立一次函数模型。

教学难点

灵活运用一次函数数学模型解决实际问题。

教学过程

一．情境创设

前面，我们已经学习了一次函数的概念、图像与性质，今天我们一起探究如何用一次函数的相关知识解决实际问题。

考查用一次函数的相关知识解决实际问题时，常常会出现与图形信息相关的问题。今天，我们就将深入研究这一问题。

二．探究新知

例：小明乘汽车从相距90千米的甲地前往乙地送文件，到达乙地停留一段时间后返回甲地。如图是小明与甲地的距离y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象。

（一）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

分析：1. 先明确横纵坐标所表示的实际意义。

2.从图中，你还能读出哪些信息？

解：方法一：待定系数法求函数关系式

设OA的函数关系式：y=k1x 把A（1,90）代入得，k1=90 ∴OA：y=90x 设BC的函数关系式：y=k2x+b 把B（1.5,90）、C（3,0）代入

得 1.5k2+b=90 解得 k2= -60

3k2+b=0 ， b=180 ∴BC：y= -60x+180 综上， 90x 0 ≤x ≤1

y= 90 1＜x≤1.5 -60x+180 1.5

由图可知OA段速度为90÷1=90km/h，

BC段速度为90÷（3-1.5）=60km/h。

由题意得 90x 0 ≤x ≤1

y= 90 1＜x≤1.5 90-60（x-1.5）1.5＜x ≤3 即 90x 0 ≤x ≤1

y= 90 1＜x≤1.5 -60x+180 1.5＜x ≤3

小结：

1.在读图的时候，要先明确横纵坐标所表示的实际意义，并找关键点，领会题目想要传达给我们的信息。

2.直线对应一次函数，设y=kx+b；当直线过原点时，对应正比例函数，设y=kx，建立模型，用数学知识解决实际问题。看图找点，见形想式，建模求解。

3.在路程与时间的函数图像中，速度越快，变化越急，对应直线越陡。反映在函数关系式上，k的绝对值即为小明的速度。

（二）出发多长时间，小明与甲地的距离是72千米？

分析：小明与甲地的距离是72千米，即y=72，代入对应的函数关系式即可。

解：把y=72代入y=90x得，

90x=72，x=0.8 把y=72代入y=-60x+180得，

-60x+180=72，x=1.8 ∴出发0.8或1.8小时后，

小明与甲地的距离是72千米。

思考：小明两次经过距甲地72千米处，相隔多长时间？（1.8-0.8=1小时。）

小结：

已知小明的位置，可以确定时间，以及两次经过同一地点相隔的时间。

(三)若小明两次经过同一地点的时间相差1.2小时，求该点与甲地的距离是多少？

方法一：

分析：抓住两次时间相差1.2小时这一特点，设第一次经过时，对应时间为t小时，则第二y(千米)次经过时，对应时间为（t+1.2）小时。

解：设第一次经过时，对应时间为t小时，

AB90

则第二次经过时，对应时间为（t+1.2）小时

把x=t代入y=90x得：y=90t

①

把x=t+1.2代入y=-60x+180得：

y=-60（t+1.2）+180

②

①

②联立得：

t=0.72

C

y=64.8 t 11.5t+1.2 x(时)O∴该地与甲地的距离为64.8千米。

方法二：（本方法由学生课堂生成，课后补充进教学设计）

分析：利用相似三角形的对应高之比等于对应边的比，建立方程，从而求解。用几何知识解决代数问题。

解：设两次经过这一地点，在图像上对应点D、E，

延长OA、CB交于点M，作MG⊥DE于点G，交AB于点F

则AB=1.5-1=0.5，DE=1.2 联立

y=90x

解得

x=1.2

y=-60x+180，

y=108

∴M（1.2，108），MF=108-90=18

由题可知△MAB相似于△MDE，

MFAB180.5∴

MG

DE

，

18



FG

1.2

，FG=25.2 ∴该地与甲地的距离为90-25.2=64.8千米。

方法三：（本方法由学生课堂生成，课后补充进教学设计）

分析：路程一定的情况下，速度与时间成反比。速度比是3：2，时间比是2：3。

解：在路程一定的情况下，速度与时间成反比

∵由（1）知DA段与BE段的速度之比为3：2，

∴DA段与BE段的时间之比为2：3

设每一份对应时间为m小时，

则

2m+0.5+3m=1.2

m=0.14

∴t=1-2×0.14=0.72

把t=0.72代入y=90x得，y=64.8

∴该地与甲地的距离为64.8千米。

方法四：

分析：用含y的代数式表示x，利用时间差为1.2小时的相等关系，建立方程，从而求解。

解：

1由y= 90x1，得x1=

y，

90

y(千米)1由y= - 60x2+180，得x2= -

y+3

60BA

90∵两次经过此地时间相差1.2h，

∴x2- x1=1.2

11

（-

y+3）-

y=1.2 6090C

2x(时)3O

y=64.8 x1 11.5x2 ∴该地与甲地的距离为64.8千米

小结：

在解决实际问题时，可以多角度思考，找不同的相等关系，一题多解，提高解决问题的能力。

（四）同一时刻，小华骑摩托车从甲地前往乙地，匀速行驶。若小华出发2小时后与小明相遇，在同一坐标系内画出小华与甲地的距离y2与时间x的函数图象，求出y2与x的函数关系式，及小华从甲地到乙地所用的时间。

分析：由小华出发2小时后与小明相遇，及BC段的函数关系式，可以求出相遇点的坐标，

从而解决。

y(千米)解：把x=2代入y=-60x+180得，

AB y=-60×2+180=60 E 90 ∴点D的坐标是（2,60）

y2(小华) 设y2=k3x，把D（2,60）代入得

D(2,60) 2k3=60，k3=30 ∴y2=30x y1(小明) 把y2=90代入得，x=3 C ∴小华从甲地到乙地用了3小时。

11.523x(时)O小结：

在解题时，可以结合函数图像，找到交点，将抽象问题转化为具体问题，数形结合。

（五）在（四）的条件下，经过多长时间，2人相距20千米？

分析：两人相距20千米，可能是小华在前，也可能是小明在前，结合图像分情况讨论。

解：由（）可知，1

90x0x1

y1901x1.5

60x1801.5x1

y230x,0x3

y(千米)

①当0x1时，y1y220,BA

E 9090x30x20,

y2(小华) 1

xD(2,60) 3

②当1x1.5时，y1y220,

9030x20,

O7

x

3

与1x1.5矛盾，舍去

③当1.5x2时，y1y220,

60x18030x20,

16x.

9

④当2x3时,y2y120，

30x60x18020,

20x.

9

11620综上，当x或或时，两人相距20千米.

399小结：

y1(小明) 11.52C3x(时)

结合图像分情况讨论，能够帮助学生直观的解决问题。注意，如果结果不在自变量的取值范围内，要舍去。

三、小结思考

这节课你有哪些收获？

1.从给定的信息中抽象出一次函数关系；读图找点-见形想式-建模求解。

2.确定一次函数的关系式；待定系数法、根据题意直接写出函数关系式。

3.已知一个变量求另一个变量。

4.理解交点的意义。

5.数形结合探索解题思路。

把生活问题抽象成数学问题，再用数学知识解决。

四、课后作业

（六）若小明出发0.5小时后，小华骑摩托车从甲地前往乙地，且小华出发1.5小时后与小明相遇，在同一坐标系内画出小华与甲地的距离y2与时间x的函数图像，并求出经过多长时间，2人相距20千米？