回顾与思考ppt专用说课稿内容

生活中的轴对称

一、知识梳理

1、轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时我们也说这个图形关于这条直线对称．

指出：

（1）轴对称图形是一个具有特殊特征的图形——对折后能够完全重合，即对称轴两旁的部分是全等形．

（2）一个轴对称图形的对称轴可能不止一条．

2、轴对称

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

指出：

（1）轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，包含两层意思：

①有两个图形，形状大小完全相同；

②重合的方式有限制，即它们的位置必须满足一个条件：把它们沿某一条直线折叠后能够完全重合．

（2）轴对称图形与轴对称的区别与联系：

区别：

①轴对称是两个图形的对称关系，轴对称图形是一个图形自身的对称特征；

②轴对称的对称点分别在两个图形上，轴对称图形的对称点都在同一个图形上；

③两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点），轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部．

联系：

①都是沿着某直线对折后能够互相重合；

②如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分就是关于这条对称轴对称．

3、线段的垂直平分线

（1）经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．

（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

指出：

（1）线段的垂直平分线说明了垂直平分线与线段的两种关系：①是位置关系——垂直；②是数量关系——平分．

（2）对称轴是轴对称图形的任何一对对应点所连线段的垂直平分线，包含如下两层含义：

①已知一对对应点就能作出它们的对称轴；

②已知一点和对称轴就能作出该点关于对称轴的对称点．

4、线段的垂直平分线的性质

（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

指出：

从以上两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线l上的点与A、B的距离相等；反过来，与点A、B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合．

二、重难点知识归纳

轴对称的有关概念，性质和判定

三、典型例题剖析

例1、观察下图中的各图，判断它们是不是轴对称图形．

分析：根据轴对称图形的定义来判断一个图形是不是轴对称图形．

解：（2）（3）（4）（6）（8）是轴对称图形．

例2、画出下图所示轴对称图形的所有对称轴．

分析：一个图形如沿某条直线对折，对折后的两部分可以重合，那么这条直线就是这个轴对称图形的对称轴．

解：

例3、如图，已知△ABC≌△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′一定关于某条直线l对称吗？如果△ABC与△A′B′C′关于某一直线l对称，那么它们全等吗？为什么？

分析：成轴对称的两个图形不仅是大小关系，还有位置关系，故全等的两个图形不一定成轴对称，但根据轴对称的意义可知，成轴对称的两个图形全等．

解：若△ABC≌△A′B′C′，它们不一定关于某一直线l对称；如果△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则它们一定全等．

例4、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线上，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上．

分析：要证明E在AF的垂直平分线上，可先作EH⊥AF于H，则只需证明AH=FH，为此证明△AEH≌△FEH，于是问题转化为证明∠4=∠2，再利用等角的余角相等即可证明．

证明：过E作EH⊥AF于H．

∵E在BD的垂直平分线上

∴BE=DE

在△BEG与△DEG中，

又∵∠1＋∠3=90°，∠B＋∠2=90°

∴∠3=∠2，又∠3=∠4，∴∠2=∠4

在△AEH和△FEH中

∴△AEH≌△FEH，∴AH=HF，又EH⊥AF，

∴EH垂直平分AF，∴E在AF的垂直平分线上．

例5、如图，A、B、C表示三个工厂，现要修建一个供水站，使它到三个工厂的距离相等．求供水站的位置P．

分析：这是一个数学模型，一个点即表示一个工厂，一条线段即表示工厂间的距离，工厂的厂房大小，A、

B之间有无阻隔都不需考虑，这就是实际问题转化为理想化的数学问题．

这个问题的解决可分为两步：其一是到A、B两点等距离的点在哪里？运用到线段两端点距离相等的点在已知线段的垂直平分线上，所以点P一定在AB的垂直平分线上，其二到B、C（或A、C）两点等距离的点应在BC（AC）的垂直平分线上．

解：（1）作AB的垂直平分线l1．如图；

（2）作BC的垂直平分线l2，l1交l2于点P，则点P即为供水站的位置．

例6、如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO=CO；④AB⊥BC．其中正确的结论有_____________________；选择其中一个正确结论进行证明．

答案：正确的结论有①②③．

证明结论①：∵四边形ABCD关于直线l对称，

∴AB=AD，∠BAC=∠DAC．又∵AB=CD，

∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD．

证明结论②：∵四边形ABCD关于直线l对称

∴∠AOD=∠AOB

又∵∠AOD＋∠AOB=180°

∴∠AOD=90°

∴AC⊥BD

证明结论③：∵四边形ABCD关于直线l对称

∵AD=AB，又∵AB=CD

∴AD=DC

由②得AC⊥BD，∴∠AOD=∠COD=90°

在△AOD和△COD中

∴△AOD≌△COD

∴AO=CO．

达标测试：

1．图中是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（

）

A．1号袋

B．2号袋

C．3号袋

D．4号袋

2．在和谐发展观中，最值得关注的有“人、木、水、土”，由这4个汉字和它们关于某一条直线的对称图形，能够组成一个新汉字的有（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

3．以下四个图形中，不是轴对称图形的是（

）

A．

B．

C．

D．

4．下列图形中，轴对称图形的个数有（

）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

5．将一圆形纸片对折后再对折，得到如图所示，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（

）

A．

B．

C．

D．

6．下列命题正确的是（

）

A．等腰三角形的对称轴是底边上的高

B．两个全等三角形一定是轴对称图形

C．线段是轴对称图形，它的对称轴是经过线段中点的直线

D．关于直线对称的两个三角形全等

7．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形（

）

A．三条角平分线的交点

B．三条中线的交点

C．三条高的交点

D．三边垂直平分线的交点

8．如图，ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则下列结论错误的是（

）

A．△PAB≌△PDC B．点P在BC的垂直平分线上

C．△PAB与△POC成轴对称

D．∠APB=∠BPC=∠CPD=20°

9．已知在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点A、B的坐标分别为A(－1,－2),B(－1, 1)，线段AB关于y轴的对称线段是DC，则四边形ABCD的面积是（

）

A．3

B．6 C．8

D．12

10．如图，在等边△ABC，∠ACB的平分线相交于点O，BO，CO的垂直平分线分别交BC于E、F，则下列结论正确的是（

）

A．BE=CF＞EF

B．BE=CF=EF C．BE=CF＜EF

D．无法确定

BBCBC DDDBB

课后作业：

1、如图，已知DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC=5，BC=8．求△AEC的周长．

解：

∵DE垂直平分AB

∴AE=BE

∴BC=AE＋EC

又∵BC=8，∴AE＋EC=8

又∵AC=5，∴AC＋AE＋EC=13

故△AEC的周长为13．

2、请用几何图形“△”“||”、“”（一个三角形，两条平行线，一个半圆）作为构件，尽可能构思独特且有意义的图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词．（至少两幅图）

答案：

3、下图是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出图中阴影部分的面积．

解：

对称轴是居中的一条铅垂方向的直线．由轴对称的性质可知，先求出对称轴左半部分的面积，再乘以2即是阴影部分的面积.对称轴左半部分有16个阴影小正方形，面积是2×16=32，故阴影部分的面积为32×2=64. 4、如图，在△ABC中，若PM、QN分别垂直平分AB、AC，BC=10cm．试求△APQ的周长．

解：

∵PM垂直平分AB ∴PA=PB 同理可证QA=QC ∴PA＋AQ=PB＋QC ∴PA＋AQ＋QP=BP＋QC＋PQ=BC=10cm 故△PAQ的周长为10cm．

5、如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：AD⊥EF．

证：

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．

又∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD ∴∠BAD=∠EDA，∴EA=ED ∴E在线段AD的垂直平分线上．

同理可证：FA=FD，∴F也在AD的垂直平分线上．

∴EF为AD的垂直平分线，∴AD⊥EF．