3.3 幂函数优质课教学设计

§2.8

幂函数

1．幂函数的概念

一般地，我们把形如________的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．幂函数的图象与性质

由幂函数1

－y＝x、y＝x 2、y＝x2、y＝x1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：

(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

(2)幂函数的图象都过点________；

(3)当α>0时，幂函数的图象都过点________与________，且在(0，＋∞)上是单调________；

(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是单调________．

3．五种幂函数的比较

(1)幂函数的图象比较

(2)幂函数的性质比较

函数

特征

性质

定义域

y＝x y＝x2

y＝x3

1y＝x

2y＝x1

－值域

奇偶性

单调性

11．当α∈－1，2，1，3时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．



122．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，，则k＋α＝________. 223．下列函数是幂函数的序号是________．

①y＝2x

②y＝2x1

③y＝(x＋2)2

－13④y＝x2

⑤y＝

x4．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点2，2，则f(4)的值为________. 2

题型一

幂函数的定义及应用

1例1

已知y＝(m2＋2m－2)·x2＋(2n－3)是幂函数，求m、n的值．

m－1

已知f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：

(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．

题型二

幂函数的图象及性质的简单应用

12，. 例2

(2011·南京模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点4(1)求f(x)，g(x)的解析式；

(2)当x为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)

已知幂函数y＝x4－3m－m2

(m∈Z)的图象与y轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m的值，并作出其图象．

题型三

利用幂函数的性质比较幂值的大小

例3

比较下列各组数的大小：

(1)(－0.95) 3

和(－0.96) 3

；

11－ 1

3；

(2)－8

3

和－9 (3)0.20.5和0.40.3.

比较下列各组数的大小：

(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)2 2

，1.8 3

；

. (4)4.1 5

，3.8 －

3

和(－1.9) 5

2231111

题型四

幂函数的综合应用

例4

已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函mm数，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．

33

已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)1(m∈N*) －(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

课时规范训练

(时间：60分钟)

A组

专项基础训练题组

一、填空题

14，，那么f(8)的值为________．

1．幂函数y＝f(x)的图象过点22．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是______(填序号)．

①y＝x 2

(x∈(0，＋∞));

②y＝3x (x∈R)；

③y＝x(x∈R);

④y＝lg |x|(x≠0)．

3．给出下列四个命题，

①当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；

②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；

③幂函数的图象不可能出现在第四象限；

④图象不经过点(－1,1)的幂函数一定不是偶函数．

其中真命题是________．(填序号) 4．对于函数y＝x，y＝x有下列说法：

①两个函数都是幂函数；

②两个函数在第一象限内都单调递增；

③它们的图象关于直线y＝x对称；

④两个函数都是偶函数；

⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．

其中正确的有__________．(填序号) 5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)．xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________．

6．已知a＝x，b＝x，c＝x，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小顺序是________．

7．若(a＋1)二、解答题

8．设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x<1时，y＝f(x)的表达式是11幂函数，且经过点(，)．求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．

28

121－<(3－2a)2

，则a的取值范围是__________．

21a21a121312α

B组

专项能力提升题组

一、填空题

3221．设a＝()5，b＝()3，c＝()5，则a，b，c的大小关系是__________．

5552．已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x(t∈N)是偶函数，则实数t的值为________．

1，x<0x113．若函数f(x)＝，则不等式－≤f(x)≤的解集为__________．

331x，x≥0373t2t25252

4．已知函数f(x)＝xα(0<α<1)，对于下列命题：

①若x>1，则f(x)>1；

②若0

③当x>0时，若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；

f(x1)f(x2)④若0

5．已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围是________．

6．已知函数f(x)，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”．在函数：①f1(x)＝x，②f2(x)＝x，③f3(x)＝x2中，其中________是“保三角形函数”．(填上正确的函数序号) 二、解答题

17．已知f(x)＝x2(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)>f(x－n＋2n＋3＋3)．

8．已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)

(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；

(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在17区间[－1,2]上的值域为[－4，]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．

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