完全平方公式的应用课时教学实录

第一章

整式的运算

6．完全平方公式（二）

——辽宁省朝阳市建平县太平庄乡九年一贯制学校 李宏伟

一、

学生起点分析

1.学生的知识技能基础：学生通过上一节课的学习，已经历了探索和推导完全平方公式的过程，并能运用公式进行简单的计算；同时通过前面的学习，学生已经基本掌握了整式的加减法及乘法运算，并能简单运用平方差公式和完全平方公式进行计算。这些知识的掌握为本节课的学习奠定了较好的知识技能基础。

2.学生活动经验基础：在前面几节课的学习中，学生已经历了探索和应用乘法公式的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力；同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力。本节课是对乘法公式的综合应用，同时乘法公式又是整式乘法中具有特殊结构的一类问题，从而让学生经历由特殊到一般的过程，学会在解题之前进行观察与思考，而这在平方差公式的灵活运用中学生同样也积累了一定的活动经验。

二、

教学任务分析

教科书是在学生已经经历了完全平方公式的探索和推导过程之后，并能够运用完全平方公式进行简单计算的基础上，提出本节课的学习任务的。可以说首先是对完全平方公式的进一步巩固，并能将其运用到有关数的简便运算中去。同时，虽然本节课是完全平方公式的第二课时，但其实也是对乘法公式及整式乘法运算的简单的综合运用。为此，本节课的教学目标是：

1．熟记完全平方公式，并能说出公式的结构特征，进一步发展学生的符号感。

2．能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算，体会符号运算对解决问题的作用。

3．能够运用完全平方公式解决简单的实际问题，并在活动当中培养学生数学建模的意识及应用数学解决实际问题的能力。 4．会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式进行计算，感悟换元变换的思想方法，提高灵活应用乘法公式的能力。

三、

教学设计分析

本节课设计了六个教学环节：回顾与思考、做一做、简单应用、综合应用、课堂小结、布置作业。

第一环节 回顾与思考

活动内容：复习已学过的完全平方公式。

2221.

完全平方公式：(a+b) = a + 2ab + b

222 (a-b) = a - 2ab + b

2．公式口诀：首平方，尾平方，乘积二倍放中央。

3. 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2 - b2

4.想一想：

（1）完全平方公式中的字母都能表示什么?

数或代数式

（2）完全平方公式在计算化简中有什么作用? 活动目的：本堂课的学习方向首先仍是对于完全平方公式的进一步巩固应用，因而复习是很有必要的，这为后面的学习奠定了一定的基础，同时经过本环节中的第三个问题的思考，也使学生明确了本节课学习的初步目标，起到了承上启下的作用。

第二环节 做一做

活动内容：出示幻灯片，提出问题。

有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……

1

(1) 第一天有

a 个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

(2) 第二天有

b 个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

(3) 第三天这（a + b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？

(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？

活动目的：数学源自于生活，通过生活当中的一个有趣的分糖场景，使学生进一步巩固了(a+b)2=a2+2ab+b2，同时帮助学生进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系。同时通过问题串的形式，层层递进，适合学生的思维梯度，学生通过自主探究和交流学到了新的知识，巩固了旧的知识，学生的学习积极性和主动性得到大大的激发。

第三环节 简单应用

活动内容：1.例题讲解

例2

利用完全平方公式计算：

(1) 1022 ;

(2) 1972

222 （1）把 102

改写成 (a+b)

还是(a−b)?a、b怎样确定？

22102 =(100+2)

22 =100+2×100×2+2

=1000+400+4 =10404 222 （2）把 197

改写成 (a+b)

还是(a−b)?a、b怎样确定？

2 2197 =(200-3)

22 =200-2×200×3+3

=4000-1200+9 =38809 2. 随堂练习

利用整式乘法公式计算：

(1) 962

；

(2) 2032

活动目的：能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固。需要注意的是，本题的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习。

第四环节 综合应用

活动内容： 1.例题讲解

例2 计算：

2 2(1) (x+3)- x

解: (1) 方法一 完全平方公式→合并同类项

22(x+3)-x

22=x＋6x+9-x

=6x+9 解: (1) 方法二

逆用平方差公式→单项式乘多项式. 22(x+3)-x

=(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3).3=6x+9 (2) (a+b+3)(a+b-3) 解：(2) (a+b+3)(a+b-3) =[(a+b)+3][(a+b)-3] 22=(a+b)-3

22=a+2ab+b-9 温馨提示：将(a+b)看作一个整体，解题中渗透了整体的思想

2



(3)(x+5)–(x-2)(x-3) 2解: (3) (x+5)-(x-2)(x-3) 22 =(x+10x+25)-(x-5x+6) 22=x+10x+25-x+5x-6 =15x+19 温馨提示： 1. 注意运算的顺序。 2. (x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号。

2.

巩固练习

(1) (a-b-3) (a-b+3) (2)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) 22(3)(ab+1)-(ab-1)

2(4)(2x-y)-4(x-y)(x+2y) 活动目的：使学生进一步熟悉乘法公式的运用，同时进一步体会完全平方公式中字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式。并且在解题过程中体会解题前观察与思考的重要性，学会一题多解情况下的优化选择，并通过例题中的第三个题目体会整体思想，同时渗透添加括号的思想。

实际教学效果：对例题1（1），学生经过独立思考容易想到方法一从而借助于完全平方公式来解决问题，但是不容易想到借助逆向使用平方差公式来进行计算，在教师的引导下部分学生可以理解借助平方差公式的方法。虽然此题两种方法解题难度上差别不大，但是在随后练习中的第三小题学生会感悟到借助逆向使用平方差公式更为简单。从而既达到了巩固练习的目的，还使学生有了优化选择的意识。

对例题1（2），

当整式乘法之间用减号连接时，此时应特别注意后面部分的计算结果应该加上括号，这是学生非常容易出错的地方，应给予强调，并在随后练习中的二、四小题有所体现。

对例题1（3），在前面学习中就已经有所渗透整体的思想，此题让学生进一步感悟公式中的“a”“b”除了可以代表数与字母之外，还可以代表代数式，并体会添加括号的思想。

2第五环节 课堂小结

活动内容：归纳小结

1.完全平方公式的使用：

在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a、b表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号。

2.解题技巧：在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择。

活动目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量让学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的。同时本节课更多的属于练习巩固及综合应用，所以应让学生更多的谈在这节课中解题上所获得的收获与体会。

第六环节 布置作业

活动内容：

1.基础训练：习题1.12

知识技能1、计算

（1）（4）；

知识技能3、（2）

2.选做题：联系拓广

活动目的：课下将所学知识进一步巩固，并得以反馈。

四、教学设计反思

1. 遵循课程标准所提出的“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展”的理念，教学中力求使“自主探索、动手实践、合作交流”成为学生学习的主要方式。

2. 为了充分展示数学问题的发生、发展及变化过程，本课采用计算机辅助教学。在整个新课的教学中，主要是给学生“动脑想，动手写，会观察，齐讨论，得结论”的学习方法。这样做，增加了学生的参与机会，增强了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体；这样做，使学生“学”有所“思”，“思”有所“得”，这样做，体现了素质教育下塑造“创新”型人才的优势。最后，结合本节课教学内容，选择具有典型性，由浅入深的例题，让学生认知内化，形成能力。通过发展提高，培养学生迁移创新精神，有助于智力的发展。

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