小结第二课时 公开课

第一章章末复习课

[整合·

络构建]

[警示·易错提醒] 1．正确认识集合与元素的概念

(1)解决集合问题的前提条件：认清集合中元素的属性(是点集、数集或是其他类型的集合)．

(2)正确区分两种关系：元素与集合之间的从属关系，以及集合与集合之间的包含关系．

2．处理集合问题的三个易错点

(1)在写集合的子集或进行集合的运算时，易忽视集合是空集的情形，如A⊆B(B≠∅)中，要对A＝∅和A≠∅进行分类讨论．

(2)运用数轴表示集合时，易忽视端点是否属于集合的情形，即

表示为实心点还是空心点．

(3)在解决含参数的集合问题时，易忽视检验而不满足元素的互异性致误．

3．关注换元法中“新元”的范围

在用换元法求函数解析式或求函数值域时，要注意“新元”的范围，“新元”

的范围一般是由被替换的表达式的范围所确定．

4．函数单调性定义应用中的两个易错点

(1)忽视x1与x2是所给区间I上的任意两个值，而用该区间上的两个特殊值代替．

(2)易出现循环论证的错误，即用所要证明的结论作为论证该问题的依据．

5．判断函数奇偶性时的注意点

一般不化简解析式，若要化简，应注意化简前后的等价性.

专题一

集合间的关系与运算

集合的运算是指集合间的交、并、补集三种常见的运算，具体数集的运算一般采用数轴法，而抽象集合的运算采用Venn图法．在解含参数的集合问题时，一般要对参数进行讨论，分类时一定要标准统一，做到“不重不漏”．

[例1]

(1)(2016·天津卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝(

) A．{1，3}

B．{1，2} C．{2，3}

D．{1，2，3} (2)已知集合M＝{x|－1

)

A．(2，＋∞)

C．(－∞，2)

B．[2，＋∞) D．[－1，＋∞) 解析：(1)因为A＝{1，2，3}，所以B＝{y|y＝2x－1，x∈A}＝{1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．

(2)因为M⊆N，所以2≤a，即a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．

答案：(1)A

(2)B

归纳升华

1．集合是由元素构成的，从研究集合中元素的构成入手，是求解结合运算问题的前提．

2．用不等式表示的集合问题，常用数轴的直观性求解，特别要注意不等式边界值的取舍，含参数时要注意对集合是否为空集进行讨论．

[变式训练]

(1)(2016·浙江卷改编)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，则P∪(∁RQ)＝(

) A．[2，3]

C．[1，2)

B．(－2，3] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)

(2)如图所示，U为全集，A，B为U的子集，则图中阴影部分表示的是(

)

A．(∁UB)∪A

C．(∁UA)∩B

B．A∩(∁UB) D．A∩B

解析：(1)因为Q＝{x∈R|x≤－2或x≥2}，

所以∁RQ＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2

因为P＝{x∈R|1≤x≤3}，

所以PU(∁RQ)＝{x|－2

(2)阴影中的任意元素x满足x∈A但x∉B，

故x∈A∩(∁UB)．

答案：(1)C

(2)B

专题二

函数的概念

函数的概念是建立在两个非空数集上的，定义域、值域和对应法则是函数的三要素．其中，定义域是研究函数问题的前提条件，而求函数的解析式、定义域、值域(最值)问题是高考的重点和热点．

2[例2]

(1)函数y＝的定义域为(

) 1－1－xA．(－∞，1)

B．(－∞，0)∪(0，1] C．(－∞，0)∪(0，1)

D．[1，＋∞) x＋1，x≥0，(2)已知f(x)＝若f(a)＝2，则实数a＝________．

4x，x<0，1－x≥0，解析：(1)要使函数有意义，则

1－1－x≠0，即x≤1，且x≠0.

(2)因为当a≥0时，f(a)＝a＋1＝2，所以a＝1.

1所以当a<0时，f(a)＝4a＝2，所以a＝(舍去)．

2答案：(1)B

(2)1 归纳升华

1．函数的定义域，是使得每一个含自变量的式子有意义的自变量的取值集合，因此，求函数的定义域可转化为求不等式组的解集．

2．分段函数f(x)在x的不同取值范围内对应关系不同，求函数值或值域时要分段求解．

[变式训练]

(1)若函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(2x)＋1fx＋3的定义域为(

) 12A.－3，3

1C.0，2

11B.－3，2

1D.0，3

11(2)若函数y＝f(x)的值域是2，3，则函数F(x)＝f(x)＋的f（x）值域是(

) 1，3A.2

510C.2，3

10

2，B.3103，D.3

10≤2x≤1，0≤x≤2，解析：(1)由得

1120≤x＋3≤1，－≤x≤，331所以x∈0，2.

111(2)令t＝f(x)，则≤t≤3，由函数g(t)＝t＋在区间2，1上是减t21510函数，在[1，3]上是增函数，且g2＝，g(1)＝2，g(3)＝，可得值3210域为2，3.

答案：(1)C

(2)B

专题三

函数的单调性与奇偶性

函数的单调性是函数最重要的性质，函数的奇偶性是研究图象的有力工具．函数单调性与奇偶性的判定，利用奇偶性做函数的图象，利用单调性求函数的值域(最值)，求解不等式或参数的取值范围是学

习的重点．

[例3]

已知函数f(x)，x∈R对任意的实数a，b都有f(ab)＝f(a)＋f(b)，且当x＞1时，f(x)＞0. (1)试判断函数f(x)的奇偶性；

(2)求证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

思路导航

本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性．解题方法都是利用定义判定，但关键是对关系式f(ab)＝f(a)＋f(b)的合理变形应用．

(1)解：令a＝b＝1，根据题意可得f(1)＝f(1)＋f(1)，

所以f(1)＝0. 设a＝b＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0. 又设a＝－1，b＝x，则f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

即f(－x)＝f(x) 所以函数f(x)是偶函数．

(2)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，

x2则f(x2)－f(x1)＝fx1·x－f(x1) 1x2x2＝f(x1)＋fx－f(x1)＝fx. 12因为x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，

x2所以＞1，

x1x2所以fx＞0，

1即f(x2)－f(x1)＞0. 所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

归纳升华

1．单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值域、求最值、解方程(组)等方面，应用十分广泛．

2．奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性，可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．

[变式训练]

(1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝(

) A．4

B．3

C．2

D．1 (2)函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间是__________________．

解析：(1)f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，

所以－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，

联立解得g(1)＝3.

(2)由x2＋2x－3≥0，得x≥1或x≤－3，所以函数减区间为(－∞，－3]．

答案：(1)B

(2)(－∞，－3]

专题四

数形结合思想的应用

数形结合思想是研究集合、函数的重要思想．本章中涉及数形结合的知识点：借助Venn图、数轴研究集合的交集、并集、补集；借助函数图象研究函数的单调性、对称性、奇偶性等性质．

[例4]

对于函数f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；

(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．

解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称，

f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|，

则f(－x)＝f(x)，

所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．

2x－2x，x≥0，2(2)f(x)＝x－|x|＝2

x＋2x，x<0，2（x－1）－1，x≥0，即f(x)＝

2（x＋1）－1，x<0.画出图象如图所示，

根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.

单调增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；

减区间是(－∞，－1]，[0，1]．

归纳升华

1．在画函数图象时，将函数解析式进行等价变形变为几种常见函数(一次函数、二次函数、反比例函数等)，再作出图象．

2．根据函数的图象，借助几何直观图求函数的单调区间和最小值，体现了数形结合思想．

[变式训练]

(1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是递减，且f(－2)＝0，如图所示，则使得f(x)<0的x的取值范围是(

) A．(－∞，2)

B．(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－2，2)

(2)函数f(x)＝－2x＋5，－1，≤x<1，的值域是____________．

3，x≥1解析：(1)由图(图略)可得在(－∞，0]上，f(x)<0的解集为(－2，0]．

因为f(x)为偶函数，所以x的取值范围为(－2，2)．

2x－2x＋4，x<－1，(2)作出函数图象如图所示，

由图象知，函数的值域为[3，＋∞)．

答案：(1)D

(2)[3，＋∞)