阅读与思考 集合中元素的个数教学设计模板

第一章

集合与函数概念测评

(时间:120分钟

满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.(2018天津高考,文1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=(

) A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{2,3,4} 答案C 2.若A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A},则集合B中元素的个数为(

) A.1 B.2 C.3 D.4 解析因为B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},所以有4个元素,故选D.

答案D 3.已知全集U=R,集合P={x∈N*|x<7},Q={x|x-3>0},则图中阴影部分表示的集合是(

)

A.{1,2,3,4,5,6} B.{x|x>3} C.{4,5,6} D.{x|33},则阴影部分表示的集合是P∩Q={4,5,6}.

答案C 4.如图,给出了奇函数f(x)的局部图象,那么f(1)等于

A.-4 B.-2 C.2 D.4 答案B 5.函数f(x)=

-的定义域为

(

) A.[-1,2)∪(2,+∞) B.(-1,+∞) C.[-1,2) D.[-1,+∞) 解析由

-

解得x≥-1,且x≠2.

答案A 6.偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,若f(-2)=1,则f(x-2)≤1的x的取值范围是(

) A.[0,2] B.[-2,2]

) 1 (

C.[0,4] ≤4.故选C.

答案C 7.若函数f(x)=A.3 解析f(f(x))=

D.[-4,4] 解析因为函数f(x)是偶函数,f(-2)=1,所以f(2)=1.因为f(x-2)≤1,所以-2≤x-2≤2,解之得0≤x

且

-

满足f(f(x))=x,则常数c等于(

)

C.3或-3 D.5或-3

B.-3

2

=x,即x[(2c+6)x+9-c]=0,所以

-

解得c=-3.故选B. 答案B 8.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,则(

) A.函数f(x)是奇函数

C.函数f(x)·x是奇函数

22222B.函数[f(x)]是奇函数

D.函数f(x)+x是奇函数

222222222解析f((-x))=f(x),则函数f(x)是偶函数,故A错误;[f(-x)]=[-f(x)]=[f(x)],则函数[f(x)]是偶函数,故B错误;函数f(-x)·(-x)=-f(x)·x,则函数f(x)·x是奇函数,故C正确; f(-x)+(-x)2≠f(x)+x2,且f(-x)+(-x)2≠-f(x)-x2,则函数f(x)+x2既不是奇函数又不是偶函数,故D错误.

答案C 9.已知函数f(x)=ax+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7)的值为(

) A.31 33B.17 C.-17 D.15 解析令g(x)=ax+bx,则g(x)为奇函数.因为f(-7)=g(-7)+7=-17,所以g(-7)=-17-7=-24,g(7)=24,f(7)=g(7)+7=31.

答案A 10.若f(x)=

A.

C.

-

-

是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是(

) B.

D.

-∞

-

解得≤a<,故选A.

解析由题意可得

-

答案A -

-

211.定义运算ab=

则函数f(x)=x|x|的图象是(

)

2

解析根据运算ab=

得f(x)=x|x|

2

-

或

=

-

由此可得图象如图所示.

答案B 12.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0.则当n∈N时,有(

) A.f(-n)0得f(x)在(-∞,0]上为增函数.

又f(x)为偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上为减函数.又f(-n)=f(n)且0≤n-1

答案C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1

.

解析当B=⌀时,有m+1≥2m-1,则m≤2.

当B≠⌀时,若B⊆A,如图.

*

- 则

-

解得2

- 综上,m的取值范围为m≤4.

答案{m|m≤4} 14.已知函数y=f(x)+x为偶函数,且f(10)=13,若函数g(x)=f(x)+6,则g(-10)=

.

解析因为函数y=f(x)+x为偶函数, 33

3

所以f(10)+10=f(-10)+(-10).

由f(10)=13,得f(-10)=2 013.

因为函数g(x)=f(x)+6,所以g(-10)=2 019.

答案2 019 15.若函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是

.

解析f(x)=

=a+

.

-

33∵y=

在区间(-2,+∞)上是减函数,

∴1-2a>0,∴a<

.

答案a<

16.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知定义在R上的函数g(x)=[x]+[2x],若A={y|y=g(x),0≤x≤1},则A中所有元素的和为

.

解析当x∈

时,0≤2x<1,g(x)=[x]+[2x]=0; 当x∈

时,1≤2x<2,g(x)=[x]+[2x]=1; 当x=1时,2x=2,g(x)=[x]+[2x]=3,

∴A={y|y=g(x),0≤x≤1}={0,1,3}.

∴A中所有元素的和为4.

答案4 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知集合A={x|-3≤x≤6},B={x|x<4},C={x|m-5

(1)求A∩B; (2)若A⊆C,求实数m的取值范围.

解(1)A∩B={x|-3≤x≤6}∩{x|x<4}={x|-3≤x<4}.

(2)因为A={x|-3≤x<6},C={x|m-5

- 解得

所以实数m的取值范围是

18.(本小题满分12分)已知函数f(x+1)=

.

(1)求f(2),f(x); (2)证明:函数f(x)在[1,17]上为增函数;

4

(3)求函数f(x)在[1,17]的最大值和最小值.

解(1)f(2)=f(1+1)=1, 令t=x+1,则x=t-1, 故f(t)=

-

-

,即f(x)=

(x≠-1).

(2)证明:任取1≤x1

2)=

-

-

-

1≤x1

,又∴x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0, ∴

-

<0,即f(x1)

), ∴函数f(x)在[1,17]上为增函数.

(3)由(1)可知函数f(x)在[1,17]上为增函数, ∴当x=1时,f(x)有最小值

; 当x=17时,f(x)有最大值

.

19.(本小题满分12分)设函数f(x)=

-5x+a为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.

(1)求实数a的值; (2)判断函数f(x)的单调性,并用定义法证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.

解(1)∵f(x)是奇函数,x≠0,∴f(-x)=-f(x).

∴-

+5x+a=-

+5x-a, ∴2a=0,∴a=0.经检验a=0为所求.

(2)f(x)=

-

5x的单调减区间为(-∞,0)与(0,+∞),没有单调增区间, 证明:当x>0时,设0

-

-

-

+5(x2-x1)=(x2-x

1)(

+5)>0,

∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.

20.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+ax.(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式; (2)若函数f(x)为R上的单调减函数, ①求a的取值范围; ②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.

解(1)当x<0时,-x>0,

5

又∵f(x)为奇函数,且a=-2, ∴f(x)=-f(-x)=x2-2x,

-

-

-

(2)①当a≤0时,对称轴x=

≤0, ∴f(x)=

∴f(x)=-x2+ax在[0,+∞)上单调递减, 由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减, 又在(-∞,0)上f(x)>0,在(0,+∞)上f(x)<0,

∴当a≤0时,f(x)为R上的单调减函数.

当a>0时,f(x)在

上单调递增,在

∞

上单调递减,不合题意.

∴函数f(x)为单调减函数时,a的取值范围为a≤0.

②∵f(m-1)+f(m2+t)<0, ∴f(m-1)<-f(m2+t).

又∵f(x)是奇函数,∴f(m-1)

又∵f(x)为R上的单调减函数, 2∴m-1>-t-m2恒成立, ∴t>-m-m+1=-

恒成立, ∴t>

.

21.(本小题满分12分)某班共有学生50人,其中参加数学课外小组的学生有22人,参加物理课外小组的学生有18人,同时参加数学、物理两个课外小组的有13人,问: (1)数学和物理两个课外小组至少参加一个的学生有多少人? (2)数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少人? 解设全集U={某班学生},A={该班参加数学课外小组的学生},B={该班参加物理课外小组的学生},则知U中有50个元素,A中有22个元素,B中有18个元素,A∩B中有13个元素.

2

A∩∁UB={该班只参加数学课外小组的学生},有22-13=9(个)元素, B∩∁UA={该班只参加物理课外小组的学生},有18-13=5(个)元素, A∪B={该班数学和物理两个课外小组至少参加一个的学生},有9+13+5=27(个)元素, ∴∁U(A∪B)中含有50-27=23(个)元素.

综上:(1)数学和物理两个课外小组至少参加一个的学生有27人.

(2)数学和物理两个课外小组都不参加的学生有23人.

22.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值

.

(1)求f(x)的解析式; (2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在区间[0,1]上的最小值,其中t∈R;

6

(3)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.

解(1)由题意知二次函数图象的对称轴为x=

,最小值为

,可设f(x)=a

-

(a≠0).

因为f(x)的图象过点(0,4),则a

-

=4,解得a=1, 所以f(x)=

-

=x2

-3x+4.

(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4 =(x-t)2+4-t2, 其图象的对称轴为x=t.

当t≤0时,函数h(x)在区间[0,1]上是增函数,所以h(x)的最小值为h(0)=4; 当0

所以h(x)-

min=

-

(3)由已知得f(x)>2x+m在区间[-1,3]上恒成立, ∴m

令g(x)=x2-5x+4, ∵g(x)=x2-5x+4在区间[-1,3]上的最小值为-

,∴m<-

.故实数m的取值范围为m<-

.

7

8