习题3.1教案1

“方程的根与函数的零点”教学设计

一、内容和内容解析

本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．

从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．

从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想．

基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系；难点是：掌握函数零点存在性的判断。

二、目标与目标解析

1．帮助学生理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件；

2．渗透由特殊到一般的认识规律，培养学生的观察能力，提升学生的抽象概括能力，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。

3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．

4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．

三、教学问题诊断分析

1．零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与

轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．

2．零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．

3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般

的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．

基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．

四、教学支持条件分析

考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．

通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。

五、教学过程设计

结合二次函数引入课题

创设情境

分小组讨论总结零点概念及零点存在性定理

组织探究

针对讨论结果展示各小组结论，并适时点拨

成果展示

进一步整理归纳函数零点的定义、等价关系

整理归纳

和存在性定理

重点放在零点的存在性判定及确定上

练习反馈

课后探究二次函数根的分布

课后延伸

环教学内容设置

师生活动

设计意图

节

创问题：求以下方程的根

师：引导学生解引导学生从熟设①2x10 ②x24x30

方程； 悉的知识中发情③(log2x)40

④lnx2x60

现新问题、新境

对于④这样的方程，我们该怎么办？

知识，渗透数

生：独立阅读教形结合的数学

揭材P86-P87，并观思想。

示察思考教师给出课的问题。

题

组织讨论

成果展示

依据以上一元二次的根和相应二次函数的图像作出回答：

（1）一元二次方程的根与相应的二次函数图像和x轴的交点有什么关系？

（2）如何判断一元二次方程的根的个数，如何判断二次函数图像与x轴交点的个数，它们之间又有什么关系？

（3）归纳函数零点的概念

（4）怎样判断一个函数是否有零点？

结合展示成果，对已学过的函数进行是否有零点的讨论：

①正比例函数ykx(k0)； ②反比例函数y(k0)；

③一次函数ykxb(k0)； ④二次函数yax2bxc(a0)

⑤指数函数yax(a0且a1) ⑥对数函数ylogax(a0且a1)

kx师：组织学生进行分组讨论，并巡组观察各小组讨论情况；

生：讨论生成函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，并展示小组讨论成果。

指导学生学习概念，并挖掘新概念的本质，培养学生观察、归纳概括能力和语言表达能力。

⑦幂函数yx

如何求lnx2x60的零点？

组以电影镜头展示的过河问题及学生织自主设计的由点A到点B的路线图，讨讨论零点的存在性，展示学生设计的路线论

图。教师进行点拨，并板书出零点的存

在性定理，强调概念的关键字，解决函成数f(x)lnx2x6的零点个数问果题。

展示

师：引导学生探索判断函数零点的方法，借助几何画板画出函数图像；

生：结合函数图像，确定零点所在的区间，利用函数单调性判断零点个数。

2尝师：教师巡视各1．函数f(x)lnx的零点所在的大致x试小组完成情况，练区间是（ ）

适时提醒。

习

A.(1，2) B.(2，3)

通过对例题的分析、解决，提高学生分析和解决问题的能力，培养学生思维的灵活性和深刻性。

加强巩固本节所学知识，让学生认识到函数的图像及基

1巩生：独立完成练固 C.(1，e)和(3，4) D.(e,) 习及训练后，再升2.若函数f(x)ex2x6的零点属于区参与所在小组讨华

间论，展示讨论成（n,n1）(nZ)，则n =________ 果。

升华训练：

判断函数yx12的零点个数，并求出相应零点。

变式：若函数yx1a有两个零点时，求a的范围。

归1.让学生回顾本节所学知识；

师：倾听学生回纳2.让学生反思在本节课的学习过程中，顾知识的完整整还有哪些不太明白的地方，请向老师提性，适时点拨。

理

出。

生：积极主动参整与回顾。

体认识

1.函数f(x)(x22)(x23x2)的零点师：布置作业。

个数为（ ）

作A.1 B.2 C.3 D.4

业2.若函数f(x)x2axb的两个零点是

生：结合课堂内2回容，完成作业。

g(x)bxax12和3，则函数的零馈

点是 。

2f(x)xxa在区间（0,1）有零课3.若点，求a 的取值范围。

后延【课后延伸】

23x-5xa0的一根在x关于的方程伸

2,0内，

另一根在1,3内，求a的范围。

本性质（特别是单调性），在确定函数零点中的重要作用。

增强学生对本节知识的熟练程度。