小结课时教案

第一课

小结(一)教学目标1．知识与技能（1）通过回顾集合与函数的概念及表示法，构建单元知识网络；整合知识，使知识系统化.（2）进一步提升学生的集合思想与函数思想.2．过程与方法通过知识的整理，知识与方法的综合应用，加深对知识的理解.提升应用基本方法的能力.，从而使学生系统地掌握的知识与方法.3．情感、态度与价值观在知识的回顾、整理过程中体会数学知识的整体性和关联性. 感受数学的系统化与结构化的特征.(二)教学重点与难点重点：构建知识体系；难点：整合基本数学知识、数学思想和数学方法.(三)教学方法自主探究与合作交流相结合. 自主探究知识的纵模联系，合作交流归纳整理知识，构建单元知识体系.(四)教学过程教学环节

教学内容

元素的特性

含义与表示

集合的表示

集合

元素与集合的关系

基本关系

集合与集合的关系

交

集

基本运算

并

集

补

集

综合应用

师生互动

设计意图

回顾反思构建体系

定义域

函数的概念

函数基础

函数的表示

映射

对应法则

值

域

解析法

图象法

列表法

师：要求学生借助课本回顾第一章的第1、2节的基本知识. 生：独立回顾总结第1、2节的基本知识.师生合作：学生口述单元知识，老师用网络图的形式板书知识构造体系图. 整合知识，形成单元知识系统.培养归纳概括能力.

示例剖析升华能力(I) 生：尝试完成例1~例3. 并由学生通过尝试代表板书例1 ~ 例3的解题过程. 练习，训练思维.师生合作点评学生代表的解答，并通过合作分析解题思路的切入点和寻找解交流探索

例1 设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是（

）A．(ðIA)∪B = IB．(ðIA)∪(ðIB) =IC．A∩(ðIB) =题的最优途径.题途径

例1解析：本题主要考查子集及运算.答案：B如图D．(ðIA)∩(ðIB) =ðIB例2解析：将集合A、A∩B、A∪B分别在数轴上表示，如图所例2

已知集合A = {x| –2＜x＜–1或x＞0}，B

示，由A∩B = {x | 0＜x≤2}知b =2= {x| a≤x≤b}，满足A∩B = {x | 0＜x≤2}，A且–1≤a≤0；∪B = {x| x＞– 2}.由A∪B

= {x | x＞–

2}，知–2求a、b的值.＜a≤–1，综上所知，a = –1，b =2.

≠

例3解析：P = {2，– 3}，Q例3

集合P = {x | x2 + x

– 6 = 0}，

1≠

m =；Q = {x | mx– 1 = 0}，且QP，求实数m的取2值集合.③当Q = {– 3}时，–3m –1 = 0，P，∴Q =，Q = {2}或Q = {– 3}.①当Q = Q

时，m = 0；②当Q = {2}时，2m – 1= 0，即即m =1. 3综上知，m的取值的集合为{0，

例4 求下列函数的定义域：

（1）y =x1+1x；

5x（2）y =. |x|311，}. 32x10例4解析：（1）由，练习，训1x0通过尝试经典例题

练思维.得x = 1，

通过合作∴函数的定义域为{1}. 交流探索（2）由题意知，有不等式组

题途径. 归纳总结5x0x5，

求函数定|x|30x3义域的题即x＜–3或–3＜x＜3或3＜x型及方≤5. 法. 归纳总结

例5

求下列函数的值域：

（1）y = x2

–2x，x[0，3]；

（2）y = x +1，xx5x故函数y =的定义域为

域的题型|x|3求函数值及方法. [0，+∞]；

（3）y = x +2x1；

（4）y = |x+1| + |x– 2|.

(–∞，–3)∪(–3，3)∪(3，5]. 例5解析：（1）y = x2

–2x = (x –

1)2

–1，如图所示，y

[–1，3]为所求.

（2）配方得y

= x

+x112(x)22，

xx当且仅当x1x，即x

= 1时，y =2，

∴y[2，+∞]为所求. （3）换元法

令2x1= t，t≥0，则x

=t21，

211函数化为y =t2 +

221=(t +1) 2，

21∵t≥0，∴y≥，

2∴函数y = x +2x1的值域1为[，+∞]. 2（4）方法一：运用绝对值的几何意义. |x +1| + |x– 2|的几何意义表示数轴上的动点x与–1以及2的距离的和，结合数轴，易得|x + 1| + |x– 2|≥3，

∴函数的值域为y[3，+∞）. 方法二：转化为函数图象，运用数形结合法.

例6

已知函数f (x)的解析式为：

3x5(x0)f(x)x5(0x1). 2x8(x1)

函数y = |x +1| + |x– 2|的零点为–1，2，把定义域分成三区间

(–

∞，–1]，(–1，2]，[2，+∞). 2x1(x1)(1x2). ∴y32x1(x2)13（1）求f ()，f ()，f (–1)的值；

2该函数图象如图所示，由图象知函数的值域为[3，+∞]. 3例6解析：（1）∵＞1，

233∴f () = –2×() + 8 =5，

22（2）画出这个函数的图象；

（3）求f (x)的最大值.

∵f (1151) =+5 =. ∵–1＜0，∴f (–1) = –3+5 =2. 如图

在函数y =3x +5图象上截取x≤0的部分，

在函数y = x +5图象上截取0＜x≤1的部分，

在函数y = –2x +8图象上截取x＞1的部分. 图中实线组成的图形就是函数f (x)的图象. （3）由函数图象可知

当x = 1时，f (x)的最大值为6. 布置作业

见单元小结1的习案

学生独立完成

巩固旧知提升能力

备选例题

例1

对于集合A = {x|x2

– 2a

x + 4a

– 3 = 0}，B ={x| x2

–22ax + a 2 + a + 2 = 0}，是否存在实数a，使A∪B =？若a不存在，说明理由，若a存在，求出a的值. 分析：A∪B =，即A =且B =，只要两个方程能同时无解即可.

∵A∪B =，∴A =且B =. 由△1＜0且△2＜0得

21a34a16a1201a2. 221a28a4a4a80所以存在这样的实数a，2)使得A∪B =. 例2（1）已知函数f (2x–1)的定义域为[0，2]，求f (x)的定义域；

（2）已知函数f (x)的定义域为[–1，3]，求f (2x–1)定义域. 【解析】（1）由f (2x–1)的定义域为[0，2]，

即x∈[0，2]，∴2x–1∈[–1，3]. 令t =2x–1，则f (t)与f (x)为同一函数，

∴t的范围[–1，3]即f (t)的定义域，∴f (x)的定义域为[–1，3]. （2）求f (2x–1)的定义域，

即由2x–1∈[–1，3]求x的范围，

解得x∈[0，2]. 教学环节

教学内容

函数性质单元知识网络函数性质

师生互动

设计意图

单调性

奇偶性

定义及奇偶性判定

应用奇偶性等价转换

回顾反思构建体系

定义及单调性判定

解不等式

求最值值域

整理知生：借助课本.并回顾学习过程. 整理函识，培养数掌握函数的有关性质归纳知识的纵归纳能横联系.力. 师生合作：学生口述单元基本知识及相形成知识互联系，老师点评、阐述、板书网络图. 网络系统. 综合应用

经典例题剖

析升华能力

师生合作：学生独立尝试完成例1 ~ 例4并由学生代表板书解答过程. 老师点评. 师生共同小结解题思络. 例1【解析】设–x＜x1＜x2＜1，

ax例1试讨论函数f (x) =2，x1即△x = x2–x1＞0，

x(–1，1)的单调性(其中a≠0).则△y = f (x2) –

f (x2)

=ax22x21ax1x121

动手尝试练习，培养并提高解题能力. =a(x1x2)(x1x21)2(x121)(x21)∵–1＜x1＜x2＜1，

∴x1–x2＜0，x12–1＜0，x22–1＜0. |x1x2|＜1，即

–1＜x1x2＜1，x1x2 +1＞0，

∴(x1x2)(x1x21)2(x121)(x21)＜0. 因此，当a＞0时，△y = f (x2) –

f (x1)＜0，

即f

(x1)＞f

(x2)，此时函数为减函数；

当a＜0时，△y = f (x2) –

f (x1) ＞0，

即f

(x1)＜f

(x2)，此时函数为增函数. 例2【解析】函数y = x +a(a＞0)x例2

试计论并证明函数y = f

(x) = x

+a(a＞0)在定义域上x的单调性，函数在(0，+∞)上是否有最小值？在区间(–∞，–a)上是增函数，在区间[–a，0]上是减函数，在区间

(0，a]上是减函数，在区间(a，+∞)上是增函数. 先证明y

= x

+a(a＞0)在(0，+∞)x上的增减性，

任取0＜x1＜x2，

则△x = x1–x2＜0，

△y = f (x1) –

f (x2) = (x1 +aa) – (x2 +) x2x1aa–) x1x2= (x1–x2) + (= (x1–x2) +a(x2x1)

x1x2a) x1x2= (x1–x2) (1–=△xx1x2a. x1x2∵0＜x1＜x2，

∴△x = x1–x2＜0，x1x2＞0. （1）当x1，x2∈(0，a)时，0＜x1x2＜a，∴x1x2 –

a＜0，

此时①＞0时，

△y = f (x1) –

f (x2)＞0，

∴f (x)在(0，a)上是减函数. （2）当x1，x2∈[a，+∞）时，x1x2＞a，∴x1x2 –

a＞0，

此时①＜0，△y= f (x1) –

f (x2)＜0，

∴f (x)在[a，+∞）上是增函数，

同理可证函数f

(x)在(–∞，–a)上为增函数，

在[–a，0)上为减函数. a由函数f (x) = x +在[0，a)上为x减函数，且在[a，+∞)上为增函数知道，f (x)≥f (a) =2a，其中x∈(0，+ ∞)，

∴f (x)min=2a，

也可以配方求f

(x) = x

+a(a＞0)x在(0，+∞)上的最小值，

∴f

(x) = x +a2a= (x)

+ 2xx2，

当且仅当x =a时，f (x)min =2a.

例3

已知f (x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f (xy) = 例3【解析】（1）在f (xy) = f (x) + f

(y)中，

f (x) + f (y)，f (2) =1.设x = y =2，则有f (4)=f (2)+f (2)，

（1）求证：f (8) =3；设x= 4，y =2，

（2）解不等式则有f (8) = f (4) + f (2) =3 f (2) = 3. f (x) –

f (x–2) ＞3.（2）由f (x) –

f (x–2)＞3，

得f (x)＞f (8) + f (x–2) = f [8 (x–2)]，

∵f (x) 是(0，+∞)上的增函数，

x8(x2)16∴x0，解得2＜x＜，

78(x2)0故原不等式的解集为{x|2＜x＜16}. 例4 已知函数f (x)，当x、7

y∈R时，恒有f (x + y) = f (x) + 例4【解析】（1）∵函数定义域为f ( y).R，其定义域关于原点对称，

（1）求证：f (x)是奇函数；∵f (x + y) = f (x) + f ( y)，

令y = –x，x、–

x∈R，

（2）如果x∈R+ ，f

(x)代入f (x + y) = f (x) + f ( y)，

∴f (0) = f (0) + f (0)，得f (0) = 0，

1＜0，并且f (1) =，试求f (x)2∴f (x) + f (–x) = 0，得

在区间[–2，6]上的最值.f (–x) = –

f (x)，

∴f (x)为奇函数. （2）设x、y∈R+，

∵f (x+y) = f (x) + f ( y)，

∴f (x+y) –

f (x) = f ( y)，

∵x∈R+，f (x)＜0，

∴f (x+y) –

f (x)＜0，

∴f (x+y)＜f (x). ∵x+y＜x，

∴f (x)在(0，+∞)上是减函数. 又∵f (x)为奇函数，

f (0) = 0，

∴f (x)在(–∞，+∞)上是减函数. ∴在区间[–2，6]上f (–2)为最大值，f (6)为最小值. ∵f (1) =1，

2∴f (–2)= –

f (2) = –2 f (1) =1，

f (6) = 2 f (3)=2[ f (1) + f (2)] = –3，

∴f (x)在区间[–2，6]上的最大值为1，最小值为–3. 备选例题

2例1

用定义证明函数y = f (x) =x1x是减函数. 【解析】∵x2 +1＞0对任意实数x均成立，

2∴函数y = f (x) =x1x的定义域是R，

任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则△x = x2–x1＞0，

△y = f (x2) –

f (x1)

22=x21x2x11x1

=22x21x21122x21(x21)(x2x1)

=x1x1(x2x1)2x21x1212221– (x2–x1) =22(x2 + x1–x21–x11)，

∵x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，

22∴x2–x1＞0，x11＞x1= |x1|≥x1，

22∴x1–x11＜0，同理x2–x21＜0，

22x1 + x2–x11–x21＜0，

2x121+x21＞| x1| + | x2 |＞0，

∴f (x2) –

f (x1) ＜0，

2∴y = f (x) =x1x在R上是减函数. 例2

已知函数f (x)的定义域为R，满足f (–x) =1＞0，且g (x) = f (x) + c（c为常数）f(x)在区间[a，b]上是减函数. 判断并证明g (x)在区间[–

b，–

a]上的单调性. 解析：设–

b≤x1＜x2≤–

a，

则△x = x2 –

x1＞0，b≥–x1＞–x2≥a，

∵g (x)在区间[a，b]上是减函数，

∴g (–x1)＜g (–x2)，即f (–x1) + c＜f (–x2) + c，

则f (–x1)＜f (–x2)，又∵f (–x) =∴01＞0，

f(x)11，即f (x1)＞f (x2) f(x1)f(x2)∴f (x1) + c＞f (x2) + c，即g (x1)＞g(x2)，

△y = g (x2) –

g (x1)＜0，

∴g (x)在区间[–

b，–

a]上是减函数.