小结教学实录

第二章小结与复习（一）教学目标1.知识与技能掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数有一个新的认识.2.过程与方法归纳、总结、提高.3.情感、态度、价值观培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.（二）教学重点、难点重点：指数函数、对数函数的性质的运用.难点：分类讨论的标准、抽象函数的理解.（三）教学方法讲授法、讨论法. （四）教学过程

教学教学内容

师生互动

设计意图

环节

复习（多媒体投影）1.本章知识结构学生总结，老师完善.对本章引入

师：请同学们总结本章知识结构.知识、方法形成系.生：（1）指数式和对数式：①整数指数幂；②方根和根式的概念；③分数指数幂；④有理指数幂的运算性质；⑤无理数指数幂；⑥对数概念；⑦对数的运算性质；⑧指数式与对数式的互化关系.体

（2）指数函数：①指数函数概念；②指数函数的定义域、值域；③指数函数的图象（恒过定点（0，1），分a＞1，0＜a＜1两种情况）；④不同底的指数函数图象的比较；⑤指数函数的单调性（分a＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质

2.方法总结

的应用.（3）对数函数：①对数函数的概念；②对数函数的定义域、值域；③对数函数的图象（恒过定点（0，1），分a＞1和0＜a＜1两种情况）；④不同底的对数函数图象的比较；⑤对数函数的单调性（分a＞1，0＜a＜1两种情况）；⑥图象和性质的应用；⑦反函数的有关知识.（4）幂函数：①幂函数的概念；②幂函数的定义域、值域（要结合指数来讲）；③幂函数的图象（过定点情况，图象要结合指数来讲）；④幂函数的性质（奇偶性、单调性等，同样要结合指数）；⑥图象和性质的应用.

应用举例

a1n1例1 设a＞0，x=（an－2），1进一步1nn例1解：1+x=1+（a－2+a）

4掌握指2221=（an）+2+an）

422数函数、对数函求（x+1x）的值.2n1n=［（a+an）］2. 211数、幂1n∵a＞0，∴a＞0，a1n＞0. 函数的概念和∴a+a1n1n＞0. 11性质等知识. 培养学生11n∴x+1x=x+（a+an）=222（a－a1n1n1）+（an+an）=an. 2111

∴（x+1x2）n=a. 小结：本题考查了分数指数幂的运算分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理性质，技巧是把根号大的式子化成完全平方的形式. 例2解：（1）∵mx＞0，mx+1≠0恒成立，

mx1例2 已知函数（fx）=x（mm1∴函数的定义域为R. ∵y=m1mx1x＞0，且m≠1）.，∴mx=y1＞0. 1y解力.

能（1）求函数f（x）的定义域和值域；∴－1＜y＜1. ∴函数f（x）的值域为（－1，1）. （2）判断f（x）的奇偶性；（2）∵函数的定义域为R，关于原点对称，

mx11mx又∵f（－x）=x=

m11mx（3）讨论函数f（x）的单调性.=－f（x），

∴函数f（x）是奇函数. （3）任取x1＜x2，

则（fx1）－（fx2）=2(mx1mx2)(mx11)(mx21)mx11mx11－mx21mx21=. ∵mx1+1＞0，mx2+1＞0，

∴当m＞1时，mx1－mx2＜0，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；

当0＜m＜1时，mx1－mx2＞0，（fx1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.

综上，当m＞1时，函数f（x）为增

函数；

当0＜m＜1时，函数f（x）为减函数. 小结：求值域用了反表示法，函数表达式中有指数式mx，它具有大于0的范围，注意反表示法求值域这类题型的特征.函数的单调性要注意分类讨论.

【例3】

己知（fx）=1+log2x例3解：∵f（x）的定义域为

［1，4］，

∴g（x）的定义域为［1，2］. ∵g（x）=f 2（x）+f（x2）=（1+log2x）2

（1≤x≤4），求函数g（x）=f 2（x）+f（x2）的最大值和最小值.

+（1+log2x2）=（log2x+2）2－2，

又1≤x≤2，∴0≤log2x≤1，

∴当x=1时，g（x）min=2；

当x=2时，g（x）max=7. 小结：这是一道易错题，首先要考虑

定义域是本题防错的关键.其实研究函数问题考虑定义域应该成为一种习惯.

【例4】

求函数y=loga（x例4解：（1）定义域：由x－x2＞0，

－x2）（a＞0，a≠1）的定义域、得0＜x＜1，

值域、单调区间.

∴定义域为（0，1）. （2）∵0＜x－x2=－（x－121）+≤24

1，

4∴当0＜a＜1时，

1，

41函数的值域为［loga，+∞）；

4loga（x－x2）≥loga

当a＞1时，loga（x－x2）≤loga函数的值域为（－∞，loga1，4

1］. 4（3）令u=x－x2，在区间（0，1）

归纳

总结

1.我们从正整数指数幂出发，经过推广得到了有理数指数幂，又由“有理数逼近无理数”的思想，认识了实数指数幂.这个过程体现了数学概念推广的基本思想.有理数指数幂、实数指数幂的运算性质是从正整数指数幂推广得到的.从对数与指数的相互联系出发，根据指数幂的运算性质，我们推出了对数运算性质. 2.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型描述.本章学习的三种不同类内，u=x－x2在（0，］上递增，在［1）上递减. ∴当0＜a＜1时，函数在（0，上是减函数，在［121，21］21，1）上是增函数；

21当a＞1时，函数在（0，］上是21增函数，在［，1）上是减函数. 2小结：复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的研究通常由里向外，本题讨论的分界线是对数的底.

学生先自回顾反思，教师点评完善．

形成知识系. 体

型的函数模型，刻画了客观世界中三类具有不同变化规律，因而具有不同对应关系的变化现象.指数函数、对数函数和幂函数是描述客观世界中许多事物发展变化的三类重要的函数模型，这三类函数的图象和性质是我们解决相关问题的重要工具. 3.研究函数时，函数图象的作用要充分重视.另外，计算器或计算机可以帮助我们方便地作出函数图象，并可以动态地演示函数的变化过程，这对我们研究函数性质很有帮助.

课后

作业

作业：小结与复习

习案

学生独立完成

巩固新知

提升能力