习题1.2教学实录

微课程1：函数的概念及函数的表示

【考点精讲】

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对函数的定义

于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）

函数的三要素

y=f（x）的内涵

两个函数相等

函数的定义域、值域、对应关系，符号表示为f：A→B，A为定义域，B为值域C的一个扩集，（即C为B的子集）f为对应关系

当自变量为x时，经过f对应的函数值为f（x），即y=f（x）不一定有具体解析式

两个函数的三要素相同定义域、对应关系、值域相同定义域、对应关系相同

【典例精析】

例题1

下列对应是从集合M到集合N的函数的是（

）

A. M=R，N=R，f：x→y=1

x1B. M=R，N=R+（正实数组成的集合），f：x→y=x

C. M={x|x≥0}，N=R，f：x→y2=x D. M=R，N={y|y≥0}，f：x→y=x2

思路导航：本题主要考查函数的定义。A. 对于M中的元素－1，N中没有元素与之对应，故该对应不是从M到N的函数。B. 对于M中任意值为负数的元素，N中没有元素与之对应，该对应f：M→N不是函数。C. 对于M中的任一元素，如x=4，通过对应法则f：x→y2=x得到N中有两个元素±2与之对应，故f：x→y2=x不是从M到N的函数。

答案：D 点评：判断一个对应法则是否构成函数，关键是看给出定义域内的任意一个值，通过给出的对应法则，看是否有且只有一个元素与之对应。

例题2

下列四组函数中，有相同图象的一组是（

）

A. y=x－1，y=(x1)

B. y=x1，y=2x1

x12x24C. y=2，y=2

D. y=1，y=x0

x2思路导航：A. y=x－1与y=(x1)=|x－1|的对应法则不同；B. y=x1的定义域为2x1的定义域为（1，+∞），两函数的定义域不同；D. y=1的定义域为R，x12x240y=x的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），两函数定义域不同；C. y=2与y=2是两相x2［1，+∞），y=等的函数，所以图象相同。选C。

答案：C 点评：1. 定义域、对应关系、值域分别相同的函数有相同的图象，三要素中只要有一项不同，两个函数就不相等。由于值域由定义域与对应关系所确定，所以判断函数是否相等，只要判断定义域与对应关系是否相同即可。

2. 判断对应法则是否相同，可以化简以后再判断，但是必须通过原函数解析式求函数的定义域。

例题3

如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，其下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，梯形周长y是否是腰长x的函数？如果是，写出函数关系式，并求出定义域。

思路导航：判定两个变量是否构成函数，关键看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义。该题中的每一个腰长都能对应唯一的周长值，因此周长y是腰长x的函数。若要用腰长表示周长的关系式，应知等腰梯形各边长，已知下底长为2R，两腰长为2x，因此只需用已知量（半径R）和腰长x把上底表示出来，即可写出周长与腰长的函数关系式。

如上图，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上，设腰长AD=BC=x，作DE⊥AE，垂足为E，连结BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD。

x2

∴AD=AE·AB，即AE=。

2Rx2

∴CD=AB－2AE=2R－。

R2

∴周长y满足关系式

x2x2

y=2R+2x+（2R－）=－+2x+4R，

RRx2

即周长y和腰长x间的函数关系式y=－+2x+4R。

Rx0,2x

∵ABCD是圆内接梯形，∴AD>0，AE>0，CD>0，即解不等式组，得函0,2Rx20.2RR数y的定义域为{x|0

x2答案：函数关系式为y=2x4R，y的定义域为{x|0

R点评：该题是实际应用问题，解题过程是从实际问题出发，利用函数概念的内涵，判断是否构成函数关系，进而引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答。这个过程实际上就是建立数学模型的最简单的情形。

【总结提升】

A

特殊映射

特殊性

1. 集合A、B都是非空数集。

B 2. 自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域。

注意：值域C并不一定等于集合B，而只能说C是B的一个子集。

函数三要素

定义域A

对应法则f

值域B

f是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键，所以必须是确定的，

且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应。

函数的概念及函数的表示

1. 下列四组中f（x），g（x）表示相等函数的是（

）

3A. f（x）＝x，g（x）＝（x）2

B. f（x）＝x，g（x）＝x3

xC. f（x）＝1，g（x）＝

D. f（x）＝x，g（x）＝|x| x2. 下列函数中，定义域不是R的是（

）

kA. y＝

x＋b

B. y＝

x＋11C. y＝x2－c

D. y＝2

x＋x＋13. 已知函数f（x）＝2x－3，x∈{1，2，3}，则f（x）的值域为________。

4. 已知函数f（x）＝x2＋x－1. 1（1）求f（2），f（），f（a）。

x（2）若f（x）＝5，求x. 5. 下列式子中不能表示函数y＝f（x）的是（

）

A. x＝y2＋1

B. y＝2x2＋1 C. x－2y＝6

D. x＝y

函数的概念及函数的表示

1. B

解析：对于A、C，函数定义域不同；对D，两函数对应关系不同。

2. B

解析：选项A、C都是整式函数，符合题意，选项D中，对任意实数x都成立。

| 3. {－1，1，3}

解析：

当x＝1时，

f（1）＝2×1－3＝－1，

当x＝2时，f（2）＝2×2－3＝1，

当x＝3时，f（3）＝2×3－3＝3，

∴f（x）的值域为{－1，1，3}。

4. 解：（1）f（2）＝22＋2－1＝5，

1＋x－x2111f（）＝2＋－1＝，f（a）＝a2＋a－1. 2xxxx（2）∵f（x）＝x2＋x－1＝5，

∴x2＋x－6＝0，∴x＝2或x＝－3. 5. A

解析：对于A，

由x＝y2＋1得y2＝x－1. 当x＝5时，

y＝±2，故y不是x的函数；

对B，y＝2x2＋1是二次函数；

对C，x－2y＝6⇒y＝1x－3是一次函数；

2对D，由x＝y得y＝x2（x≥0）是二次函数。故选A.