阅读与思考 集合中元素的个数教学评价实录

学而思教育·学习改变命运

思考成就未来！

高考网www.gaokao.com 课

题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（6）

教学目的：

进一步熟悉有关技巧，继续提高学生综合应用能力

教学重点：两角和与差的余弦、正弦、正切公式

教学难点：灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．两角和与差的正、余弦公式

cos()coscossinsin cos()coscossinsin

sin()sincossincos sin()sincossincos

tan()tantantantan) tan(

1tantan1tantan，求x的值

6二、讲解范例：

例1

若tan=3x，tan=3x,

且=解：tan()=tan3=

∵tan=3x，tan=3x

36tantan33x3x1x(33x)

∴xx21tantan1332∴3•33•3=23

即：3(3x)2233x30

xx∴3x3或3x31(舍去)

∴x

32例2 已知锐角, , 

满足sin+sin=sin,

coscos=cos,

求的值

解：

∵sin+sin=sin

∴sin

sin = sin <0

①

∴sin

∴<

同理：∵coscos=cos

∴

cos cos = cos

②

①+②: 1+12cos（）=1 ∴cos（）=∵0221

22

02

∴20

∴=

3

例3 已知tan，tan是关于x的方程mx22x7m32m0的两个实根，求tan(+)的取值范围

5

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解：∵tan，tan是方程mx22x7m32m0的两个实根

∴△=4(7m-3)-8m2≥0

∴2m2-7m+3≤0

解之：1≤m≤3 227m3tantan27m3tan()

又

∴

mmtantan2117491

为求范围：tan(

)273()223()mmm6122

∵11≤m≤3

∴≤m≤2 23274949171

∴当时，3()有最大值

1212m6m67491111

当2或时，3()有最小值2 m612mm32737491

∴23()22

3m61273即

tan(),22

32

∴pq+1=0 例4

若2x2，求f (x)=3sinx+cosx的最大值和最小值，并求出此时的x值

31

解：

f (x)=3sinx+cosx=2sinxcosx2sin(x)

262∵2x2

∴3x62

3∴3sin(x)1

32sin(x)2

626

即3f(x)2

当且仅当x当且仅当x63

，x2时

f (x)min=3

62

，x3时

f (x)max=2

例5 已知f (x)=-acos2x-3asin2x+2a+b，其中a>0，x[0,]时，

25

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高考网www.gaokao.com -5≤f (x)≤1，设g(t)=at2+bt-3，t[-1,0]，求g(t)的最小值

解：

f (x)=-acos2x-3asin2x+2a+b=-2a[

=-2asin(2x+

∵x[0,∴13sin2x+cos2x]+2a+b 22)+2a+b 67]

∴2x

26661sin(2x)1

26

又

a>0

∴-2a<0

∴2a2asin(2x)a

6

∴b2asin(2x)2ab3ab

6∴bf(x)3ab

∵-5≤f (x)≤1

∴

∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-b5b5

3ab1a25249)-

48∵t[-1,0]

∴当t=0时，g(t)min=g(0)=-3 三、课堂练习：

1

在△ABC中，C>90，则tanAtanB与1的关系适合………………（B）

(A) tanAtanB>1

(B) tanAtanB>1

(C) tanAtanB =1

(D)不确定

解：在△ABC中

∵C>90

∴A, B为锐角

即tanA>0, tanB>0 又tanC<0

于是：tanC = tan(A+B) = tanAtanB<0

1tanAtanB∴1  tanAtanB>0

即：tanAtanB<1

又解：在△ABC中

∵C>90

∴C必在以AB为直径的⊙O内（如图）

过C作CDAB于D，DC交⊙O于C’，

设CD = h，C’D = h’，AD = p，BD = q，

则tanAtanB2．设，(

C’

C h' h

q D hhhh'1

pqpqpq22A

p B 2,)，tan、tan是一元二次方程x33x40的两个根，求

 + 22tanαtanβ33解：由韦达定理：

tanαtanβ4)∴tan(又由，(tantan333

1tan()14,)且tan，tan < 0

(∵tan+tan<0, tantan >0) 225

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高考网www.gaokao.com 得 +  (, 0)

∴ +  = 2

3四、小结

有关解题技巧：化弦、辅助角、角变换、公式逆用、正余弦和积互换

五、课后作业：

1求证：sinxcosxtan(x) sinxcosx42sin(x)4tan(x)证明：左边＝42cos(x)4或：右边＝tan（x－）

4

sin(x)sinxcoscosxsin444sinxcosx＝

sinxcosxcos(x)cosxcossinxsin4442若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则

4Aab＜1 Ba＞b

Ca＜b Ｄab＞2

解：sinα＋cosα＝2sin（α＋sinβ＋cosβ＝2sin（β＋又∵0＜α＜β＜）＝a 4

）＝b4

4∴0＜α＋＜β＋＜

442∴sin（α＋）＜sin（β＋44∴a＜b

答案：C 六、板书设计（略）

七、课后记：

1tan2A·tan（30°－A）＋tan2Atan（60°－A）＋tan（30°－A）tan（60°－A）＝

解：原式＝tan2A［tan（30°－A）＋tan（60°－A）］＋［tan(30°－A)tan（60°－A）］

＝tan2Atan［（30°－A）＋（60°－A）］［1－tan（30°－A）tan（60°－A）］＋［tan（30°－A）tan（60°－A）］

＝tan2Atan（90°－2A）［1－tan（30°－A）tan（60°－A）］＋［tan（30°－A）tan（60°－A）］

＝tan2A·cot2A［1－tan(30°－A）tan(60°－A）］＋［tan(30°－A）tan（60°－A）］＝1 5

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高考网www.gaokao.com 先仔细观察式子中所出现的角，灵活应用公式进行变形，然后化简、求值

222已知tanα、tanβ是方程x－3x－3＝0的两个根,求sin（α＋β）－3sin（α＋β）2cos（α＋β）－3cos（α＋β）的值

解：由题意知tantan3

tantan3tantan33

1tantan1(3)42∴tan()2sin（α＋β）－3sin（α＋β）cos（α＋β）－3cos（α＋β）

22＝cos（α＋β）［tan（α＋β）－3tan（α＋β）－3］

＝12［tan（α＋β）－3tan（α＋β）－3］

21tan()133[()233]3

3441()24413已知α、β为锐角，cosα＝，tan（α－β）＝－，求Cosβ的值3543

解：由α为锐角，cosα＝，∴sinα＝

551由α、β为锐角，又tan（α－β）＝－

3＝

∴cos（α－β）＝310

1010

10

sin（α－β）＝－∴cosβ＝cos［α－（α－β）］＝cosα·cos（α－β）＋sinα·sin（α－β＝

4310310910 ()510510505