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《指数函数、对数函数、幂函数》章末复习

肇源县第三中学姚恩博

教学目标：

1．理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质。知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

2．了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数的知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具。

3．培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探索能力、数学建模能力以及数学交流的能力。

4．知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a＞0，a≠1)。

知识要点一、指数及指数幂的运算

1.根式的概念

a的n次方根的定义：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1,nN*

当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根是负数，表示为na；当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为na. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数. 2.n次方根的性质：

(1)当n为奇数时，nana；当n为偶数时，aanna,a0,

a,a0;(2)anna

3.分数指数幂的意义：

aamnnma0,m,nN,n1；amn1amna0,m,nN,n1

0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质：

a0,b0,r,sQ

(1)aaarsrsrr (2)(ar)sars (3)abab

r知识点二、指数函数及其性质

1.指数函数概念

一般地，函数yaxa0,且a1叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. 2.指数函数函数性质：

函数

指数函数

名称

定义

函数yax(a0且a1)叫做指数函数

a1

0a1

yaxyy

yax

图象

y1

(0,1)y1(0,1)

O

定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

1

0 xR

O1 0 x(0,)

图象过定点(0,1)，即当x0时，y1. 非奇非偶

在R上是增函数

在R上是减函数

ax1(x0)函数值的

变化情况

ax1(x0)ax1(x0)

ax1(x0)ax1(x0)

ax1(x0)

a变化对图象的影响

在第一象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算

1.对数的定义

(1)若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0). 2.几个重要的对数恒等式

loga10，logaa1，logaabb. 3.常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN(其中e2.71828…). 4.对数的运算性质

如果a0,a1,M0,N0，那么

①加法：logaMlogaNloga(MN)

②减法：logaMlogaNlogaM

N③数乘：nlogaMlogaMn(nR)

④alogaNN

n⑤logabMnlogaM(b0,nR)

b⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)

logba知识点四：对数函数及其性质

1.对数函数定义

一般地，函数ylogaxa0,且a1叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域0,.

2.对数函数性质：

函数

对数函数

名称

定义

函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数

a1

0a1

yx

1ylogaxyx

1

ylogax图象

O1 0 (1,0)xO1 0 (1,0)

x定义域

值域

过定点

奇偶性

单调性

在(0,)上是增函数

(0,)

R

图象过定点(1,0)，即当x1时，y0. 非奇非偶

在(0,)上是减函数

函数值的

变化情况

logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)

logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)

a变化对图象的影响

在第一象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐减小. 知识点五：幂函数

1.幂函数概念

形如yx(R)的函数，叫做幂函数，其中为常数. 

2.幂函数的性质

(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限. (2)过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1). (3)单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数.如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴. (4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当qpq(其中p,q互pqp质，p和qZ)，若p为奇数q为奇数时，则yx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则yx是非奇非偶函数. (5)图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，qp其图象在直线yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方.

习题巩固：

1.计算

(1) log271log212log242； (2)lg32lg353lg2lg5；

482lg0.7212(3)lg5lg8lg5lg20lg2；(4)7lg20322

2.

2log510log50.25=（

）

A.0 B.1 C.2 D.4

a8ab33.（1）化简：4b2aba243132323(a2323ba3a2)5aa3a11；

3340.5[(3)(5)(0.008)3(0.02)2(0.32)2]0.06250.2589（2）计算：

12142（3）已知：x4，求：x1xx3412xx12x1的值. 14x14. 设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0= ( ) A.x|x2或x4 B. x|x0或x4 C. x|x0或x6 D. x|x2或x4

3x1,x0,5.已知函数f(x)若f(x0)3，则x0的取值范围是（

）．

logx,x0,2A.

x08 B. x00或x08 C. 0x08 D. x00或0x08

2)，则f(4)的值等于

（

）. 211

(A) 16

(B) 2

(C)

(D)

1626．如果幂函数f(x)x的图象经过点(2,7．设1,1,1

,3，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有的值为

（

）2(A) 1,3

(B) 1,1

(C) 1,3

(D) 1,1,3

8．函数(1x)01x的定义域是

（

）

(A){xx1}

(B){xx1,且x0}

(C){xx1}

(D){xx1}

19．若log2a0，1，则

（

）

2(A)a1,b0

(B)a1,b0

(C) 0a1,b0

(D) 0a1,b0

b3x210．f(x)

lg(3x1)的定义域是

（

）1x(A)(,)

(B)(,1)

(C)(,)

(D)(,)

1313113313

11．函数f(x)log2(x2axa)的递减区间是(,13)，则实数a的值是

（

）

(A)2或13

(B) 223或13

(C) 2或223

(D)2

12．若a1且axlogayaylogax，则正实数x,y之间的关系为

（

）

(A)xy

(B)xy

(C)xy

(D)不能确定

13．函数y(a23a3)ax是指数函数，则a___________. 14．

求下列函数的值域：

x2x2x1(Ⅰ)f(x)2；

(Ⅱ)f(x)x

xx121

x15．已知函数fxlogaaaa1.

（Ⅰ）求函数的定义域和值域；

（Ⅱ）讨论fx在其定义域上的单调性；

16．设f(x)log11ax为奇函数，a为常数. x12（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）证明f(x)在区间1,内单调递增；

1（Ⅲ）若对于区间3,4上的每一个x值，不等式fx()xm恒成立，求实数m的取值范围．

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