习题2.1教学设计和教学实录

指数与指数函数

1．了解指数幂的含义、掌握幂的运算．

2．理解指数函数的概念、理解指数函数的单调性与其图象特征并能灵活应用．

3．知道指数函数是一类重要的函数模型．

【基础检测】

－1．函数f(x)＝2|x1|的大致图象是(

)

2，x≥1，【解析】由已知f(x)＝1x－1＋∞)上为增函数，在(－∞，，x<1.所以f(x)的图象在[1，21)上为减函数．

【答案】B

12．设a＝2，b＝2.5，c＝2，则a，b，c的大小关系是(

) 2.502.5x－1A．a>c>b

B．c>a>b C．a>b>c

D．b>a>c 1【解析】因为a＝2>1，b＝2.5＝1，c＝2<1，所以a>b>c.

2.502.5【答案】C

－3．函数y＝2·a|x1|－1(a>0，a≠1)过定点________．

【解析】由指数函数性质，令|x－1|＝0，可得x＝1，此时y＝1，所以函数恒过定点(1，1)．

【答案】(1，1) 4．若指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是____________________________．

【解析】由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0

【答案】(－2，－1)∪(1，2) 5．计算

36(1)23×1.5×12＝________．

(2)2a3b2(21)(－6ab÷－3a6b6＝________．

1123)(15)【答案】(1)6

(2)4a

【知识要点】

1．根式

(1)概念：如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数就叫做a的n次方根，nn即若xn＝a(n>1，n∈N*)，则x＝__a__．式子a叫做__根式__，n叫__根指数__，a叫__被开方数__．

(2)根式的性质：

n①a的n(n>1，n∈N*)次方根，当n为奇数时，有一个n次方根为__a__；当n为偶数n时，若a>0，有两个互为相反数的n次方根为__±a__，若a＝0，其n次方根为__0__，若a<0，则无实数根．

n②当n为奇数时，an＝__a__；

a

（a≥0）n当n为偶数时，an＝|a|＝____．

－a（a<0）2．指数幂的概念

(1)正整数指数幂：an＝__a·a·…·an个a

(n∈N*)．

(2)零指数幂：a0＝__1__(a≠0)．

1－(3)负指数幂：ab＝__b__(a≠0)．

an(4)正分数指数幂：a＝__am__(a>0，m，n∈N*，n>1)．

m11(5)负分数指数幂：a－＝m＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．

nannam3．有理指数幂的运算性质(注意逆用) ＋(1)ar·as＝__ars__(r，s∈Q，a>0)．

－(2)ar÷as＝__ars__(r，s∈Q，a>0)．

·(3)(ar)s＝__ars__(r，s∈Q，a>0)．

(4)(ab)r＝__ar·br__(r∈Q，a>0，b>0)．

4．指数函数的概念、图象和性质

定义

形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数叫指数函数

mn图象

性质

(1)定义域：__R__ (2)值域：__(0，＋∞)__ (3)过点__(0，1)__，即x＝0时，y＝1

(4)在R上是__增函数__

在R上是__减函数__

(5)x>0时，__y>1__ x<0时，__0

x<0时，__y>1__

x>0时，__0

典

例

剖

析

考点1

指数幂的运算

例1求值与化简：

3a3b2ab2(1)111(a>0，b>0)；

13442（ab）a－b3271－＋(0.002)－－10(5－2)－1＋(2－3)0；

(2)8221511－13－23－32(3)a·b·(－3a－b)÷(4a·b).

621212－23（abab）31111a－1【解析】(1)原式＝1＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab＝.

26333b1ab2a－b33127－31－282103(2)原式＝－8＋500－＋1＝－27＋(500)2－10(5＋2)＋1

5－22132334167＝＋105－105－20＋1＝－.

9911251－351351351－323－3(3)原式＝－a－b÷4a3·＝－a－b÷(ab－)＝－a－·b－＝－·

b264624224ab3()5ab＝－.

4ab2【点评】指数幂运算的一般原则：

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．

考点2

指数函数的图象及应用

例2(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

) A．a>1，b<0

B．a>1，b>0

C．00

D．0

【解析】由f(x)＝axb的图象可以观察出，函数f(x)＝axb在定义域上单调递减，所以－0

－－【答案】D

(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是________．

【解析】函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．

【答案】(－∞，0] 1(3)当x∈[1，2]时，函数y＝x2与y＝ax(a>0)的图象有交点，则a的取值范围是(

) 21111，2

B.，2

C.，2

D.，2

A.2244122【解析】当a>1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足·2≥a，即1

2

12111当0

【答案】B

11(4)已知x0是f(x)＝2＋x的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0，0)，则(

) x

A．f(x1)<0，f(x2)<0

B．f(x1)>0，f(x2)>0

C．f(x1)>0，f(x2)<0

D．f(x1)<0，f(x2)>0

11【解析】在同一坐标系下画出函数f(x)＝，f(x)＝－的图象．

2xx

111<－1.所以当x1∈(－∞，由图象可知当x∈(－∞，x0)时，>－；x∈(x，0)时，022xxx0)，x2∈(x0，0)时，有f(x1)>0，f(x2)<0，选C.

【答案】C

xx考点3

指数函数的性质及应用

2－1，x≤0例3(1)设函数f(x)＝1，若f(x0)>1，则x0的取值范围是________．

2x，x>0x0≤0x0>0【解析】由已知或，解得x0<－1或x0>1，故x0的取值范围是x0>12－x0－1>1－x(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)

(2)函数y＝f(x＋1)为定义在R上的偶函数，且当x≥1时，f(x)＝2x－1，则下列写法正确的是(

) 132A．f3

213B．f3

231C．f3

321D．f2

【解析】∵函数y＝f(x＋1)为偶函数，

∴y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，

∴函数y＝f(x)的图象如图所示，

231120，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．

1－【解析】当a>1时，有a2＝4，a1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－x为减函数，2不合题意．

11－当0

4161另解：由函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，可知1－4m>0，即m<；

41－当a>1时f(x)＝ax在[－1，2]上的最大值为a2＝4，解得a＝2，最小值为m＝a1＝不符21－合题意，舍去；当0

4(4)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．

(i)f(x)的解析式为________；

11(ii)若不等式a＋b－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数m的取值范围为________．

【解析】(i)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1，6)，B(3，24)，

b·a＝6

①∴3，②÷①得a2＝4，又a>0，且a≠1，

b·a＝24

②xx∴a＝2，b＝3，∴f(x)＝3·2x.

111＋1在(－∞，1]上恒成立．

(ii)＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤ab2311令g(x)＝2＋3，g(x)在(－∞，1]上单调递减，

5115－∞，. ∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，故所求实数m的取值范围是6236xxxxxx

5－∞，

【答案】(i)f(x)＝3·2x

(ii)6(5)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.则m的取值范围是________．

【解析】根据g(x)＝2x－2<0⇒x<1，由于题目中第一个条件的限制，所以在x≥1时必须是f(x)<0.当m＝0时，f(x)＝0，不满足x≥1时，f(x)<0，所以舍去，因此f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0，且此时2个根为x1＝2m，x2＝－m－3，为保证条件成立，只需1m<2x1＝2m<1⇒，和大前提m<0取交集结果为－4－4分析得出x∈(－∞，－4)时，g(x)恒负，因此就需要在这个范围内f(x)有取得正数的可能，即－4应该比x1，x2两个根中较小的大，当m∈(－1，0)时，由－m－3<－4，解得交集为空，舍去；当m＝－1时，两个根同为－2>－4，也舍去；当m∈(－4，－1)时，由2m<－4⇒m<－2.

综上所述m∈(－4，－2)．

【答案】(－4，－2)．

【点评】指数函数的性质及应用问题解题策略

(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．

(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．

例4已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈[0，4]时，f(x)＝2|x－m|＋n，且f(2)＝6. (1)求m，n的值；

(2)当x∈[0，4]时，关于x的方程f(x)－a·2x＝0有解，求a的取值范围．

【解析】(1)∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(0)＝f(4)，

－－即2|m|＋n＝2|4m|＋n⇒m＝2，

∵f(2)＝6，即20＋n＝6⇒n＝5.

2|x2|＋5(2)由f(x)－a·2＝0，可得a＝.

2x－x4（2）＋5（2），0≤x≤2，2＋5令y＝＝1

－x2x4＋5×2，2

①当0≤x≤2时，令t＝2x，则t∈433，9，则a∈，9；

∴y∈221－②当2

4119393－，，∴y∈，，则a∈，.

∵2x∈1641621629，9.

综上所述，a∈16

9所以a的取值范围是16，9.

【点评】本题主要考查周期函数性质的运用，另外本题中函数的指数含有绝对值，需要正确去绝对值；在求解含参的方程中的参数取值范围时，如果方程较简单(如一元二次方程时)，可利用判别式或者韦达定理求参数范围，如果方程较为复杂，如题中情形，可将方程转化为函数，通过求函数的值域而求得参数的范围．

12〔备选题〕例5已知函数f(x)＝，x∈[－1，1]，函数g(x)＝f(x)－2af(x)＋3的最小3值为h(a)．

(1)求h(a)；

(2)是否存在实数m，n，同时满足以下条件：

①m＞n＞3；

②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．

若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

11【解析】(1)因为x∈[－1，1]，所以3∈3，3.

11，3，

设＝t，t∈33则g(x)＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.

1282a1当a＜时，h(a)＝φ3＝9－3；

31当≤a≤3时，h(a)＝φ(a)＝3－a2；

3当a＞3时，h(a)＝φ(3)＝12－6a.

282a1－，a＜，9332xxx所以h(a)＝3－a，1≤a≤3，

312－6a，a＞3.(2)假设存在满足条件的实数m，n.

因为m＞n＞3，a∈[n，m]，所以h(a)＝12－6a.

12－6m＝n，22因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n，m]，且h(a)为减函数，所以两212－6n＝m，式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，因为m＞n，所以m－n≠0，得m＋n＝6，但这与“m＞n＞3”矛盾，故不存在满足条件的实数m，n.

【点评】解第(1)小题的关键在于利用换元思想的方法，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．

2方

法

总

结

1．指数的乘、除运算一般要求在同底数状态下进行，所以在进行指数运算时，先将指

数式化为同底数．

2．解指数不等式，一般将不等式两边化为同底数的指数形式，再利用单调性转化为简单不等式求解．

3．当底数中出现参数时，要注意对底数的取值范围加以讨论．

4．凡涉及到图象问题，可画出草图，利用数形结合求解，往往快捷准确，特别是对解填空、选择题有效．

5．比较两个幂值的大小是一种常见的题型，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用单调性，如果底数不同，指数相同，可利用图象(见下表)；如果指数、底数都不同，可引入中间量.

底的关系

图象

a>b>1

1>a>b>0

底大于1时底大者靠近坐标轴

底小于1时底小者靠近坐标轴

6.(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．

走

进

高

考

1．(2016全国新课标Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(

) A．b

B．a

C．b

D．c

【解析】因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b

【答案】A

【命题立意】本题主要考查了指数函数单调性及指数幂的运算，属中档题．

2．(2016天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a1|)>f(－2)，则a的取值范围是________．

－【解析】由题意f(x)在(0，＋∞)上递减，又f(x)是偶函数，则不等式f(2|a1|)>f(－2)化－432513432325132323113－－为f(2|a1|)>f(2)，则2|a1|<2，故|a－1|<，解得

22213【答案】2，2. 【命题立意】本题主要考查了利用函数性质解不等式，属中档题．

考

点

集

训

A组题

11．函数f(x)＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(

) a

【解析】函数f(x)的图象恒过(－1，0)点，只有图象D符合．故选D.

【答案】D －2．函数f(x)＝ax2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点(

) A．(0，1)

B．(1，1)

C．(2，0)

D．(2，2) 【解析】∵a0＝1，∴f(2)＝2，故f(x)的图象必过点(2，2)．故选D.

【答案】D 1－3．若函数f(x)＝a|2x4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(

) 9A．(－∞，2]

B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞)

D．(－∞，－2] 1|2x－4|11112【解析】由f(1)＝得a＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝3.由于y＝|2x9933－4|在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在[2，＋∞)上递减．故选B.

【答案】B 4．已知a＝2，b＝3，c＝5，则a，b，c的大小关系是(

) A．a>c>b

B．b>c>a

C．b>a>c

D．c>b>a

【解析】∵3>3>2，∴b>a，

∵2<5，∴(2)<(5)，即2<5，故a

同理，∵3>5，∴(3)>(5)，即3>5，故b>c，

∴b>c>a.

【答案】B 312＋2－2·2－(0.01)0.5＝________．

5．计算541114112111162【解析】原式＝1＋×9－1002＝1＋×－＝1＋－＝. 443106101516【答案】

1501－212131313121553515131511315525101210112156．计算(a·b)23－11－211·a－·b326＝________．

a·b511112a－b·a－b3321111151【解析】原式＝＝a－－－·b＋－＝. 15326236a66ab

1【答案】

a7．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．

【解析】当a>1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为增函数，则a2－1＝2，∴a＝±3.又∵a>1，∴a＝3.

当0

综上可知，a＝3. 【答案】3 －8．设函数f(x)＝ax－(k－1)ax(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．

(1)求k的值；

3－(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a2x－2m·f(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．

2【解析】(1)由题意，对任意x∈R，f(－x)＝－f(x)，

－－即ax－(k－1)ax＝－ax＋(k－1)ax，

－－－(k－1)(ax＋ax)－(ax＋ax)＝0，(k－2)(ax＋ax)＝0，

因为x为任意实数，所以k＝2.(或者用f(0)＝0)．

3－(2)由(1)知f(x)＝ax－ax，因为f(1)＝，

213－所以a－＝，解得a＝2，故f(x)＝2x－2x.

a2g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2x)，令t＝2x－2x，

－－3，＋∞，

则由x∈[1，＋∞)，得t∈23，＋∞，

g(x)＝h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2，t∈233当m<时，h(t)在2，＋∞上是增函数，

23925则h＝－2，即－3m＋2＝－2，解得m＝(舍去)．

24123当m≥时，则f(m)＝－2，即2－m2＝－2，解得m＝2，或m＝－2(舍去)．

2综上，m的值是2. B组题

1－7，x＜0，1．设函数f(x)＝2若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(

) x，x≥0，A．(－∞，－3)

B．(1，＋∞) C．(－3，1)

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 11＜8，即1＜1，

【解析】当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为－7＜1，即22221因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；

2当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为a＜1，所以0≤a＜1.

综上，a的取值范围是(－3，1)．

aaa－3x

【答案】C 2．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝f（x），f（x）≤K，－取函数f(x)＝2－x－ex.若对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，K，f（x）>K.则(

) A．K的最小值为1

B．K的最大值为2 C．K的最大值为1

D．K的最小值为2 1－ex【解析】由题知，K≥f(x)对x∈(－∞，＋∞)恒成立，对f(x)求导得f′(x)＝x，故f(x)e在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减，f(x)max＝f(0)＝1，∴Kmin＝1.故选A.

【答案】A

3．如图，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.某指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)经过点E，B，则a等于(

) A.2

B.3 C．2

D．3 【解析】设点E(t，at)，则点B坐标为(2t，2at)．因为2at＝a2t，所以at＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝at×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝2.故选A. 【答案】A 4．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(

) A．a<0，b<0，c<0

B．a<0，b≥0，c>0 －C．2a<2c

D．2a＋2c<2

【解析】作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图．

∵af(c)>f(b)，结合图象知00，

∴0<2a<1，2c>1，

∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，f(c)＝|2c－1|＝2c－1，

又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.

【答案】D 2x5．已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0，1)时，f(x)＝x. 4＋1(1)求函数f(x)在(－1，1)上的解析式；

(2)判断f(x)在(0，1)上的单调性；

(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1，1)上有实数解？

【解析】(1)∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)＝0.

设x∈(－1，0)，则－x∈(0，1)，

2x2xf(－x)＝－x＝＝－f(x)，∴f(x)＝－x，

4＋14x＋14＋12－x∴f(x)＝0，x＝0，24＋1，x∈（0，1）.xx2x－x，x∈（－1，0），4＋1

(2)任取x1，x2，且0

2x12x2f(x1)－f(x2)＝－

4x1＋14x2＋1＝（2x1－2x2）（1－2x1＋x2）.

（4x1＋1）（4x2＋1）∵0

∴2x1<2x2，2x1＋x2>20＝1，

∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(0，1)上为减函数．

(3)∵f(x)在(0，1)上为减函数，

212120∴1

4＋14＋112－，－.

同理，在(－1，0)上，f(x)∈521221－，－∪，，

又f(0)＝0，∴当λ∈5522或λ＝0时，方程f(x)＝λ在x∈(－1，1)上有实数解．