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课题：§1.3函数的性质

教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、奇偶性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．奇偶性

教学重点：函数的单调性．奇偶性

教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．

利用函数奇偶性的定义判断、证明函数的奇偶性

．

教学过程：

一、引入课题

1．

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y y

1 1

-1 1 x 1

-1 -1 -1

1

随x的增大，y的值有什么变化？

○2

能否看出函数的最大、最小值？

○3

函数图象是否具有某种对称性？

○2．

画出下列函数的图象，观察其变化规律：

y 1 x -1 -1 1 x y 1 -1 -1 y 1 -1 y 1 -1 -1 1 x -1 1 x 1 x 1．f(x) = x 1

从左至右图象上升还是下降

______?

○2

在区间

____________ 上，随着x的增

○大，f(x)的值随着

________ ．

2．f(x) = -2x+1 1

从左至右图象上升还是下降

______?

○2

在区间

____________ 上，随着x的增

○大，f(x)的值随着

________ ．

3．f(x) = x2

1在区间

____________ 上，f(x)的值随

○着x的增大而

________ ．

2

在区间

____________ 上，f(x)的值随

○着x的增大而

________ ．

函数单调性定义

1．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意：

1

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

○2

必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

○2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1

任取x1，x2∈D，且x1

○2

作差f(x1)－f(x2)；

○3

变形（通常是因式分解和配方）；

○4

定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5

下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

○（二）典型例题

例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．

解：（略）

巩固练习：课本P38练习第1、2题

例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．

解：（略）

巩固练习：

1

课本P38练习第3题；

○

2

证明函数yx○1在（1，+∞）上为增函数．

x例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．

解：（略）

思考：画出反比例函数y1的图象．

x1

这个函数的定义域是什么？

○2

它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

○说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．

二、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取

值

→

作

差

→

变

形

→

定

号

→

下结论

函数的奇偶性定义

1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，2中的图象关于原点象上面实践操作○操作○对称的函数即是奇函数．

1．偶函数（even function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

2．奇函数（odd function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇

函数．

注意：

1

函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

○2

由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任○意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（二）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

（三）典型例题

1．判断函数的奇偶性

例1（．教材P36例3）应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性．（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）

解：（略）

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

○2

确定f(－x)与f(x)的关系；

○3

作出相应结论：

○若f(－x) = f(x) 或

f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或

f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

巩固练习：（教材P41例5）

例2．（教材P46习题1．3 B组每1题）

解：（略）

说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．

2．利用函数的奇偶性补全函数的图象

（教材P41思考题）

规律：

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．

巩固练习：（教材P42练习1）

3．函数的奇偶性与单调性的关系

（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征．

例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数

解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤) 规律：

偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：

三、归纳小结，强化思想

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，

用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

四、作业布置

1．

书面作业：课本P46

习题1．3（A组）

第9、10题，

B组第2题．

2．补充作业：判断下列函数的奇偶性：

2x22x1

f(x)○；

x132

f(x)x2x；

○3

f(x)a

（xR）

○4

f(x)○x(1x)x0,

x(1x)x0.3．

课后思考：

已知f(x)是定义在R上的函数，

设g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)，h(x)

221

试判断g(x)与h(x)的奇偶性；

○2

试判断g(x),h(x)与f(x)的关系；

○3

由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．

○