小结教案1

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函数的奇偶性与周期性

一、基础知识梳理

1.函数的奇偶性

函数的奇偶性从两个方面去理解：①定义；②图像

奇偶性

定

义

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

图象特点

偶函数

关于y轴对称

奇函数

关于原点对称

问题：如果函数f(x)的定义域为实数，则f(x)的图像有什么特点？

2.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)称为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．

二、目标

1.掌握函数奇偶性的运用

2.理解函数周期性

三、题型解析

题型一：判断函数的单调性

例题1：设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(

)

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A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

例题2：函数f(x)loga(x2),g(x)loga(2x)(a0,且a1)则函数F(x)f(x)g(x),G(x)f(x)g(x)

的奇偶性是

A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数

C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数

题型二：函数周期性及其运用

例题3：设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…

＋f(2 017)＝________. 【解析】因为f(x＋2)＝f(x)，所以T2，f(0)f(1)f(2)f(3)...f(2016)f(2017)1009

[迁移探究1]

若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？

[迁移探究2]

若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝2

B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数

D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数

1”，则结论如何？

f(x)

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总结：求函数周期的方法

变式训练1 （1）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于(

) A．－1

B．1

C．－2

D．2 （2）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(52)等于

(

) A．－1

B．－124

C.14

D.12

（3）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝1，－1＜x≤0，－1，0＜x≤1，

则下列函数值为1的是(A．f(2.5)

B．f(f(2.5))

C．f(f(1.5))

D．f(2)

题型三：函数的综合运用

例题1：已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)

) A.(113,23)

B.[13,23)

C.(12,23)

D.[2,23)

例题2：已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(

) A．f(－25)

B．f(80)

D．f(－25)

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)

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【解析】1.由题可得|2x1|1，解得1x2

3332.因为奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)=f(x)，所以f(x)关于x2对称，画出f(x)大概图像得

由图可知，周期为8，所以f(80)f(2),f(11)f(3),f(25)f(1)，所以f(－25)

变式训练2（1）已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(

) A．4

B．3

C．2

D．1 （2）(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)xln(xax2)为偶函数，则a＝________. 2a－3（3）已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为

a＋1A．(－1,4)

变式训练1

【解析】1.A；2.A；3.D （3）∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，

2a－32a－3a－4∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，解得－1

B．(－2,0)

C．(－1,0)

D．(－1,2)

1.

定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)f(x1)0，则(

) x2x1

D．f(3)

B．f(1)

2.

已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－1,2)

C．(－2,1)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

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3.

函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 4.

已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是___________．

5.

设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，

135则f()f(1)f()f(2)f()＝________.222[来源:Zxxk.Com] 6.

已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值

范围是(

) A.5(1,)

3

5B.(,)

3

C．(1,3)

5D.(,)37.

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)

求证：f(x)是周期函数；

(2)

当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；

(3)

计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)．

ax＋1，－1≤x<0，(4)

设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝bx＋2其中a，b∈R. ，0≤x≤1，x＋1

若f()f()，则a＋3b的值为________．

8.

已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6] 上与x轴的交点个数为________．

9.

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的结论：

①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；

④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确结论的序号是________．

10.

函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

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(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围

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