习题1.2课件配套优秀获奖教案

二次函数闯关录

重庆市秀山高级中学校 马胜英

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，是高中数学函数与方程思想在解题中的重要应用.本文从一道课本习题出发，分析探究其演变及应用，把所研究的中间问题化为讨论二次函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的. 题目

如果函数（A）（C）对任意实数都有

（B）

（D）

，那么（）

（湘教版必修第一册第1章集合与函数复习题一

温故而知新

第19题）

分析1：从对任意实数成立联想到的图象关于直线对称.同时，二次函数在其图象的对称轴一侧，总是随的增大而增大，或随的增大而减小. 解法1：对任意实数成立，因此时，随的图象的对称轴是.，再由的图象是开口向上的抛物线，当对称性知分析2：由计算，，

即可. ，故的增大而增大，于是有，选A. ，知图象的对称轴方程为，可求出的值，再分别解法2：由，知函数的对称轴方程为，即，得，

.，

，，有. 说明：设是二次函数，等价于的图象关于直线对称，该题是的特殊情况. 在区间上恰有一个极值点，求实数的取演变1

已知函数值范围. 分析：利用导数研究三次函数在其定义域上的极值，函数

在区间上恰有一个1

变号零点.本题实质是一元二次方程根的分布问题，这类问题主要考虑，二次函数图象开口方向、对称轴的位置，端点处的函数值和一元二次方程根的判别式. 解：

，函数的图象开口向上，其对称轴方程为

，且

，根据对称性必有

即

，得

. 说明：利用导数研究函数极值，在函数的所有实数根，考虑在每个根左负右正，则的定义域内求导，导数为的符号变化情况.若在，求出方程在附近的符号是是附近，从左向右，是极小值. 若在是函数的极小值点，是极大值.若附近的符号是左正右负，则不是函数的极值点，函数的极大值点，不是极值. 演变2

若函数的左右两侧符号不变，则

在区间内是减少的，在区间内是增加的，求实数的取值范围. 分析：在定义域上，区间数的单调递增区间的子区间，的极大值点，

为函数是三次函数

的根的单调递减区间的子区间，区间

，

满足，是函，据此知，为函数解：的极小值点. 在区间内是减少的，在区间内是增，因为函数加的，所以

的两个根

，

满足，，则

，解不等式组得说明：导函数条件；

“函数在区间演变3

设函数. （）是函数在某区间上为增函数（减函数）的充分不必要”是不同的. 处的切内是减少（增加）的”和“函数的递减（增）区间是是定义在上的奇函数，且函数的图象在

2

线方程为（为参数）.（1）求的值；（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围. 分析：（1）定义在上的奇函数满足切线斜率是该点处的导数值，且切点在函数图象上，转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解：（1）上的奇函数满足，得.又，切点，切线方程，取特殊值.（2）因为，求出.函数在，所以处的，，所以，有得. （2）

，

对恒成立，即对恒成立.令，知，求，故在区间. 上的最大值，配方说明：据题目特征，已知恒成立，求参数取值范围，用分离参数法，转而求函数的值域. 应用

设

. （1）如果（2）如果值.（注：区间的长度为在，）

处取得最小值，求的解析式；

的单调递减区间的长度是正整数，试求和的（2011年江西高考第20题）

分析：（1）定义域象开口向上，函数（2）三次函数不相同的零点上对求导，为二次函数，的图在对称轴处取得最小值. 的单调递减区间的长度是正整数，则函数在上有两个.利用一元二次方程根的判别式求出和的关系，在依据根与系数关系表示

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且满足为正整数. 解：（1）由，得，图象的对称轴方程是，知

解得

. （2）因为个不相等的实数根

，从而，且的单调递减区间的长度为正整数，故，即定有两. 由一元二次方程根与系数关系，为正整数，故时才有符合条，当时，没件的，又，当时，，当时，有符合条件的.因此，或满足题意. 说明：二次函数的最值问题，如果定义域为，则对称轴处取得最值；如果定义域是一个区间，要考虑对称轴和给定区间的关系.三次函数在上的图象由导函数确定，如果已知导函数有两个零点，即有两个实根，则可转化为来判断参数的范围. 在近几年高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，涉及三次函数的题型，根据导数，可归结为考查二次函数的最值问题，一元二次方程的根的分布问题，一元二次不等式恒成立问题等.深刻理解二次函数的图象、性质，熟练掌握三次函数的具体特征，是应用函数思想解题的基础，而善于分析数学题目，揭示问题本质，灵活运用函数性质是实施解题的关键.

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