习题1.2第二课时教学实录

专题：函数的基本概念及表示

※知识要点

1．函数的基本概念

【例1】判断正误：

(1)函数是建立在其定义域到值域的映射(

) (2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点(

) (1)函数定义：设A，B是两个

，按照某种确定的

(3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数(

)

f，使对于集合A中的

，在集合B中

(4)

若两个函数的定义域与值域相同，则它们是相等函数(

)

与之对应，称f:A→B为从集合

到集合

的一个函数，记作y＝f(x)，x∈

．

(2)函数的三要素：__________、________和____________．

(3)函数的常用表示方法：________、________、________．

(4)函数相等：两个函数的

和__________完全一致．

(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的____________的函数叫做分段函数．

注意：分段函数是

个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________．

2．映射的概念

(1)映射的定义：设A、B是两个

，按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的

一个元素x，在集合B中都有

确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的

．

注意：由映射的定义可以看出，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是

数集．

3．函数的三要素求法：

(1)定义域：使函数关系式

的自变量x的取值集合；

注意：设函数y＝f(x)，x∈D和函数u＝g(x)，x∈E，则称函数m=f(g(x))为

函数，其中

内函数，

外函数，函数f(g(x))的定义域为

．

(2)值域：在

内，某一函数的函数值y的取值集合，常用的方法有：① ；② ：解决二次函数值域；

③ ：解决一次分式函数值域；④ ：解决含二次根式函数值域；⑤ ：解决二次分式函数值域．

(3)求解析式的常用方法有：

① ：针对已知函数类型；

② ：针对复合函数；③ ：针对复合函数；④ ：针对f(x)与f(1x)或f(－x)形成的表达式．

注意：①定义域和值域一定要写成 或 形式；

②求函数解析式时，一定要注意求解前后的 变化．

※题型讲练

(5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|是从A到B的映射(

)

变式训练1：

1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有

．

2．下列四个图象中，是函数图象的有

．

【例2】求下列函数的定义域：

(1) f(x)＝x－4|x|－5 (2)

f(x)＝x－2＋2－x

(3) f(x)＝x＋121，x≥0，x＋1－1－x (4) f(x)＝－1，x<0，

变式训练2：

1．若函数f(x)ax2ax1的定义域为R，求实数a的取值范围．

【例3】已知f(2x－1)的定义域为(0,2]，求下列函数定义域：

(1) f(x)

(2)f(x+1)+f(－x)

(3) f(x－1)

变式训练3：

1．已知函数f(x)＝x2，x∈[1,2]和函数g(x)＝x－2，

(1)求函数f(g(x))的解析式和定义域；

(2)求函数g(f(x))的解析式和定义域．

【例4】求下列函数的值域：

(1)f(x)＝1x，x∈[1,＋∞）

(2) f(x)＝12xx

1

(3) f(x)=x2－2x，x∈[0,3]

(4) f(x)=x+x－2

变式训练4：

x2x11．求函数f(x)=

x



1

的值域．

【例5】画函数f(x)=|x－1|+|x+2|的图像并求其值域．

变式训练5：

x2＋1，x≤1，1．画函数f(x)图像并指出其值域：f(x)＝2x，x>1.

【例6】分别求满足下列条件的函数解析式f(x)：

(1)已知f(x)是一次函数，且满足f(f(x))＝4x＋6；

(2)已知f(x)满足2f(x)＋f(1x)＝3x；

(3)已知f(x)满足f(x＋1)＝x＋2x．

变式训练6：

1．已知f(x＋1x)＝x2＋1x2，则f(x)的解析式为

；

2．已知f(x)满足2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)=

．※课后练习

1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)

2．下列函数中，不满足．．．f(2x)＝2f(x)的是(

) A．f(x)＝|x|

B．f(x)＝x－|x|

C．f(x)＝x＋1

D．f(x)＝－x

3．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于(

) A．－2x＋1

B．2x－1

C．2x－3

D．2x＋7 4．若f(x－1)定义域是[1,5]，则函数g(x)＝f2xx定义域是(

) A．[0,2]

B．(0,2)

C．(0,2]

D．[0,2) 5．设f:x→x2是从集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，则A∩B为(

) A．∅

B．{1}

C．∅或{2}

D．∅或{1} 6．若f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)=________，定义域为______．

7．已知函数f(x)＝2x＋1，x≤0，fx－3，x>0，

则f(2016)等于_______．

8．已知f(x)＝3x＋2，x<1，x2＋ax，x≥1，

若f(f(0))＝4a，则a＝_____．

9．已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．则f(－1)＝________．

10．如果函数f(x)＝1－x211＋x2，那么f(1)＋f(2)＋…f(2016)＋f(2)＋f(13)＋…＋f(12016)的值为________．

x11．已知f(x)满足2f(x)－f(1x)＝

x



1

，求f(x)的值域．

12．已知f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，

解不等式：f(x)>f(1)．

113．函数f(x)＝x2＋x－. 4(1)若定义域为[0,3]，求f(x)的值域；

11(2)若f(x)的值域为[－，]，且定义域为[a，b]，求b－a的216最大值．