2.1.1 函数的概念和图象教学设计一等奖

函数的概念

教学目标：

在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。

教学重点：

理解函数的概念及表示符号，了解构成函数的要素。

教学难点：

用集合语言和对应关系刻画函数。

教学过程：

一．回忆旧识

初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

初中已学习过函数的概念，函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本节将进一步学习函数及其构成要素。

问题：y=1是函数吗？利用初中定义难以做出判断。

二．情景创设

案例1：估计人口数量变化趋势是我们制定一些列相关政策的依据。从人口统计年鉴中可以查得我国1949-1999年人口数据资料如表2-1-1所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗？

提出问题：

1.

1969年我国人口数是多少？1979年呢？

2.

表格中每一年的人口数确定吗？

3.

根据上表，你能用集合表示年份变化范围吗？人口数（百万）的变化范围呢？

案例2：

一物体从静止开始下落，下落的距离y（单位：m）与

下落时间x（单位：s）之间近似地关系式y4.9x。

提出问题：

1.

若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？1s呢？

2.

下落过程中，每一时刻的下落距离确定吗？

3.

你能用集合表示时间的变化范围吗？下落距离的变化范围呢？

案例3：

图2-1-1为某市一天24小时内的气温变化图。

2

提出问题：

1.

上午7时的气温约是多少？晚上23时呢？

2.

这一天中的的每一个时刻的气温确定吗？

3.

你能用集合表示时间的变化范围吗？温度的变化范围呢？

请同学们分析上述三个例子找出他们的共同点。

三个案例都有两个变量，当一个变量的取值确定时，另一个变量的值也随之唯一确定。

总结：根据初中已有知识，以上三个案例中的描述的两个变量之间的关系都满足函数的定义，因此都是函数，也发现函数可以用图表，图像，解析式来表示。

三．概念建构

提出问题：如何用集合的语言来阐述三个案例的共同点。

1969 1978

....四. 概念辨析

引导学生深刻体会定义的要点和所满足的条件

强调：①函数首先是两个数集之间建立的对应. 函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系. 807

975

....

通过此图，我们可以清楚的表示两个变量之间的对应关系，这种对应具有：“一个输入值对应到唯一的输出值”的特征。

请同学们仿照初中函数概念用集合语言表述函数的概念，注意几个关键词：数集，每一个元素，唯一的元素，对应。

②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应为数与数之间的一一对应或多一对应

③认真理解yf(x)的含义：不能理解为f与x相乘，因为f本身不是数，可将抽象符号f(x)与学生“加工”的经验联系起来，帮助学生理解符号f(x)。如果把函数f比喻为加工机器，输入原料x，通过加工机器f，输出唯一确定的产品f(x)，也就是y。注意，原料x必须为数字，而且产品必须有而且只有一个，在原料输入口标有对原料的要求，就是定义域，将产品收集起来构成的集合就是值域，加工机器的内部构造就是对应法则，这对学生理解函数f和函数运算都是非常有实效的。

④函数的三要素：定义域，值域和对应法则。

五．数学应用

例1：判断下列对应是否为函数：

（1）x2,x0,xR；

x（2）xy，这里y2x,xN,yR。

思考1：y1是否为函数？

根据函数的概念，这里的集合A,B为实数解，每一个x都有唯一的y1与之对应。因此y1是函数，事实上，该函数称为常值函数。

思考2：y1,x是有理数0,x是无理数是函数吗？

根据函数定义，A集合为实数集R，B集合为{0,1}，A中每一个元素

在B中都有唯一元素

与之对应。因此y1,x是有理数0,x是无理数是函数，事实上，该函数称为狄利克雷函数。

总结：根据初中函数的概念或初中对函数的认识，难以辨析上述两个例子是否为函数，但是利用高中的对应说，很容易判断其为两个函数。这里体现了函数概念由初中到高中的进一步抽象是有必要的。

练习：教科书p26：练习3,4,5 例2：求下列函数的定义域：

（1）f(x)（2）g(x)x1；

1。

x1

注意：定义域是集合，其结果必须是集合形式，今后不加特殊说明，函数的定义域均

指使解析式有意义的x的取值。

练习：教科书p27:练习6 例3：求下列函数的值域：

（1）f(x)(x1)21,x{1,0,1,2,3}；

（2）f(x)(x1)21。

总结：上述两个例子说明对应方式相同，并不一定是同一个函数，两个函数必须满足定义域，对应法则，值域都一样，才是同一个函数。

练习:教科书p27：练习7 六．课堂小结

本节课，我们首先回忆旧识，在y1是否为函数的问题上，我们发现进一步研究函数概念的必要性，通过三个案例，我们分析其相同点，尝试用集合语言和对应关系对函数做了新的定义，辨析概念之后我们通过简单的数学应用，加深了对对应说函数概念的理解，为后面的学习奠定了基础，函数又具有哪些性质呢？我们将在之后的学习过程中慢慢体会。