3.2.1 对数教学设计一等奖

3.2 对数函数

3.2.1 对数

课标知识与能力目标

1.掌握对数的概念和运算性质，理解对数运算与指数运算互为逆运算．

2.能运用对数的概念及其与指数的关系推导几个常见的公式和运算性质，并能熟练运用．

3.掌握换底公式，了解用换底公式可以讲给对数式转换成自然对数或常用对数．

知识点1 对数

1.对数的概念：一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即aN，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2.常用对数：通常以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log10N，简记为lgN. 3.自然对数：以e为底的对数称为自然对数．其中e＝2.718 28…是一个无理数，正数N的自然对数logeN一般简记为lnN．

4.换底公式：一般地有logaN对数的换底公式．

典型例题

考点1：指数式与对数式的互化

1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a>0，a≠1，N>0时，才有ax＝N⇔x＝logaN．

2．对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：

blogcN，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1，这个公式称为logca

1a例1 (1)将下列指数式化为对数式：①3＝；②83＝16；③5＝15．

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(2)将下列对数式化为指数式：①log32435；②log1313；③lg0.1-1．

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例2 logbNa(b0,b1,N0)对应的指数式是____________．

考点2：求对数的值

例1 计算下列各式的值：(1)lg0.001；(2)log48；(3)lne．

例2 求下列各式的值：(1)log93；(2)log20.25；(3)log933；(4)log0.532．

考点3：对数的基本性质及对数恒等式

例1 计算：

(1)log2(log55)；

(2)log

考点4：对数运算中的转化思想

例1 求下列各式中的x：

32(1)logx27＝；

(2)log2x＝－；

(3)logx(322)＝－2；

(4)log5(log2x)＝0．

23

例2 求下列各式中x的取值范围：

(1)lg(x10)；

(2)lg(x1)(x2)；

(3)lg(x1)(x1).

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2121322；

(3)alogabblogbc(a，b＞1，c>0)．

考点5：对数运算性质的应用

1.基本性质：（a＞0，且a1）

(1)logaa1；

(2)loga10；

(3)a2.运算性质：（a＞0，且a1）

(1)loga(MN)logaMlogaN；

(2)logalogaNN；

(4)logaaNN.

MlogaMlogaN；

N(3)logaMnnlogaM.

例1 求下列各式的值：

(1)

例2 计算下列各式的值：

lg 3＋2lg 2－1(1)；

(2)log28＋43＋log28－43．

lg 1.2

考点6：换底公式的应用

例1 (1)计算1324lglg8lg245；

(2)(lg5)22lg2(lg2)2．

249311＝________；

log46log96(2)已知log23＝a,3b＝7，则log1256＝________.(用a，b表示)．

例2 (1)化简：111；

log57log37log27第

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(2)设log23log34log45log20052006log2006m4，求实数m的值．

例3 (1)已知log189a，185，试用a、b表示log1845的值；

(2)已知log147a，log145b，用a、b表示log3528．

考点7：对数的应用题

步骤：1.依据题意建立等量关系；

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b

2.利用对数的定义及运算性质对上述等量关系变形；

3.借助已知数据(或计算器)估值；

4.下结论．

例1 某化工厂生产化工产品，去年生产成本50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶生产成本为20元？(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477 1，精确到1年)．

例2 光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y. (1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)通过多少块玻璃板以后，光线强度减弱到原来强度的一半以下？(根据需要取用数据lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)

能力提优

题型1：指数与对数的互化

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exex例1 把yx转化为用含y的式子表示x的形式．

eex

题型2：相等幂指数式问题

例1 设3436，求

例2 设x,y,z(0,)，且346．

（1）比较3x,4y,6z的大小；

xyzab21的值．

ab（2）求证：111．

zx2y

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