2.1.1 函数的概念和图象教学设计实例

2.1

函数的概念

2.1.1

函数的概念和图象

第1课时

函数的概念

学习目标：1.在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点)2.会求几种简单函数的定义域、值域．(重点) [自

主

预

习·探

新

知] 函数的概念

函数的定义

函数的记法

函数的定义域

函数的值域

设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数．

从A到B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A.

在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．

若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，则将所有输出值y组成的集合称为函数的值域. 思考：定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？

[提示]

不一定是，如函数y＝x，x∈[0,1]，和y＝x2，x∈[0,1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数．

[基础自测] 1．思考辨析

(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(

) (2)已知定义域和对应法则就可以确定一个函数．(

) (3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.(

) [答案]

(1)×

(2)√

(3)×

1/8

2．(1)函数f(x)＝x－10的定义域为________．

(2)函数f(x)＝1的定义域为________．

x－24(3)函数f(x)＝9－x(x∈N)的定义域为________．

[解析]

(1)x－10≥0，∴x≥10，即{x|x≥10}．

(2)x－2>0，∴x>2，即{x|x＞2}．

9－x≥0，x≤9，(3)⇒∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．

x∈Nx∈N，[答案]

(1){x|x≥10}

(2){x|x>2}

(3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 3．若f(x)＝x2－3x＋2，则f(1)＝________. [解析]

f(1)＝12－3×1＋2＝0. [答案]

0 4．若f(x)＝x－3，x∈{0,1,2,3}，则f(x)的值域为________.

[解析]

f(0)＝－3，f(1)＝－2，f(2)＝－1，f(3)＝0. [答案]

{－3，－2，－1,0} [合

作

探

究·攻

重

难]

函数的概念

判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．

(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；

(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；

1(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→x2；

(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；

(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0. [思路探究]

求解本题的关键是判断在对应法则f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．

[解]

(1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应法则f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．

(2)对于A中的元素x＝22，在f作用下，|22－2∈/B，故不能构成函数．

2/8

(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故(3)不能构成函数．

(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．

(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．

[规律方法]

1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．

2．函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．

[跟踪训练] 1．下列对应或关系式中是A到B的函数的有________．(填序号)

①A＝B＝[－1,1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；

②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图2-1-1；

图2-1-1 ③A＝R，B＝R，f：x→y＝1；

x－2④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1. [解析]

对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．

[答案]

②

求函数的定义域

求下列函数的定义域．

x－8(1)f(x)＝；

3x－23/8 3

(2)f(x)＝x＋1＋1；

2－x1；

x＋2(3)f(x)＝x＋4＋x0＋x＋12(4)f(x)＝. x＋1[思路探究]

根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x的范围，就是所求函数的定义域．

[解]

(1)要使f(x)有意义，则有3x－2>0，

2∴x>，

32即f(x)的定义域为3，＋∞. x＋1≥0，(2)要使f(x)有意义，则⇒x≥－1且x≠2，

2－x≠0即f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．

x＋4≥0，(3)要使f(x)有意义，则x≠0，x＋2≠0

⇒x≥－4且x≠0，x≠－2，

即f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．

(4)要使f(x)有意义，则x＋1≠0，∴x≠－1，

即f(x)的定义域为{x|x≠－1}．

[规律方法]

1.求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．

2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．

[跟踪训练] 2．求下列函数的定义域．

(1)f(x)＝11＋x；

1－3x(2)f(x)＝3－x＋1＋x且

x∈Z. 1－3x＞0，1[解]

(1)要使函数有意义，只需所以x＜3且x≠0，所以函数的定义域为x≠0，

4/8

1xx＜且x≠03

. 3－x≥0，(2)要使函数有意义，只需所以－1≤x≤3. 1＋x≥0，又x∈Z，所以x＝－1,0,1,2,3. 所以函数的定义域为{－1,0,1,2,3}．

求函数的值域或函数值

已知f(x)＝x2－4x＋2. (1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；

(2)求f(x)的值域；

(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值.

[思路探究]

(1)将x＝2，a，a＋1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f[g(3)]．

[解]

(1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，

f(a)＝a2－4a＋2，

f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1. (2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，

∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．

(3)g(3)＝3＋1＝4，

∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2. [规律方法]

1.函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．

2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．

3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．

[跟踪训练] 3．在例3中，g(x)＝x＋1，求f(g(x))，g(f(x))．

[解]

f(g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，

g(f(x))＝f(x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3.

抽象函数求定义域

[探究问题] 5/8

1．在y＝f(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x是什么？

[提示]

f(x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量．

2．在函数y＝f(x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？

[提示]

y＝f(x＋1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围．

3．如何将函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)中的自变量联系起来？

[提示]

由于x，x＋1均为f的作用对象，故二者均应在f(x)定义域之中，即y＝f(x)中x的范围与y＝f(x＋1)中x＋1的范围一致．

(1)已知函数y＝f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为________.

(2)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1,4]，则f(x)的定义域为________．

(3)已知函数y＝f(x＋3)的定义域为[1,4]，则f(2x)的定义域为________．

[思路探究]

找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题．

[解]

(1)由题知对于f(x＋2)有x＋2∈[1,4]，∴x∈[－1,2]，

故f(x＋2)的定义域为[－1,2]．

(2)由题知x∈[1,4]，∴x＋2∈[3,6]，∴f(x)的定义域是[3,6]．

72，(3)由题知x∈[1,4]，∴x＋3∈[4,7]，对于f(2x)有2x∈[4,7]，∴x∈，

27即f(2x)的定义域为2，2. 7[答案]

(1)[－1,2]

(2)[3,6]

(3)2，2

[规律方法]

抽象函数的定义域

1．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域．

2．已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为f(x)的定义域．

用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：

(1)定义域指自变量的取值范围．(告诉我们已知什么，求什么) (2)括号内范围相同．(告诉我们如何将条件与结论联系起来) [跟踪训练] 4．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3,2]，则f(x＋1)的定义域为________．

[解析]

对于y＝f(x－1)有x∈[－3,2]，∴x－1∈[－4，1]，∴在f(x＋1)中有x＋1∈[－4,1]，∴x∈[－5,0]．

6/8

[答案]

[－5,0] [当

堂

达

标·固

双

基] 1．下列图象表示函数图象的是________．(填序号)

图2-1-2 [解析]

根据函数定义知，对定义域内的任意变量x，都有唯一的函数值y和它对应，即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量，无交点即x不是定义域内的变量)．显然，只有答案(3)中图象符合．

[答案]

(3) 12．函数y＝x＋1＋的定义域是________．

2－xx＋1≥0，[解析]

要使函数有意义，需满足解不等式得定义域为{x|x≥－1且x≠2}．

2－x≠0，[答案]

{x|x≥－1且x≠2} 3．已知函数y＝f(x)的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f(x)的图象与直线x＝2的交点个数为________.

[解析]

在函数定义域内，任意实数x对应唯一实数y，所以直线x＝2与函数图象交点为1个．

[答案]

1 4．下列四组函数中，表示相等函数的一组是________．(填序号) x2－1(1)f(x)＝|x|，g(x)＝x；(2)f(x)＝x，g(x)＝(x)；(3)f(x)＝，g(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x－1222

x＋1·x－1，g(x)＝x2－1. [解析]

(1)中定义域，对应关系都相同，是同一函数；(2)中定义域不同；(3)中定义域不同；(4)中定义域不同．

[答案]

(1) 5．求下列函数的值域：

(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；

(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；

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2x＋1(3)y＝. x－3[解]

(1)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．

(2)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．

(3)y＝2x＋12x－3x－3＝＋7x－3＝2＋7x－3，

显然7x－3≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋

8/8 ∞)．