3.1.2 指数函数公开课教案

3.1.2

指数函数(二) 学习目标

1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．

知识点一

不同底指数函数图象的相对位置

思考

y＝2x与y＝3x都是单调增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？

答案

经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方．

梳理

一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系

(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去记忆，如图．

1x(2)指数函数y＝ax与y＝a(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．

知识点二

比较幂的大小

思考

若x1＜x2，则a1与a2

(a＞0且a≠1)的大小关系如何？

答案

当a＞1时，y＝ax在R上为单调增函数，所以a1＜a2，

当0＜a＜1时，y＝ax在R上为单调减函数，所以a1＞a2. 梳理

一般地，比较幂大小的方法有

(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断．

(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．

知识点三

解指数方程、不等式

简单指数不等式的解法

(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．

(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

ax(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解，也可化归为b >1求解．

xxxxxx

知识点四

与指数函数复合的函数单调性

1x11x的单调性与y＝1的单调性有什么关系？

思考

y＝的定义域与y＝的定义域是什么关系？y＝22xx1x11x答案

由于y＝a(a＞0且a≠1)的定义域为R，故y＝的定义域与y＝的定义域相同，故研究y＝22xx11111x11x2111的单调性，只需在y＝的定义域内研究．若设0＜x1＜x2，则＞，＜2，不等号方向的改变与xx1x221x1y＝，y＝的单调性均有关．

2x梳理

一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质

(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．

(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0

1．y＝21x是R上的增函数．(×) －112．若0.1a>0.1b，则a>b.(×) 3．a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.(×) 4．由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．(×)

类型一

解指数方程

例1

解下列关于x的方程．

1x＋2(1)81×32x＝9；

(2)22x2＋3×2x－1＝0. ＋1x＋2解

(1)∵81×32x＝9，

∴32x4＝3＋－2(x＋2)，

∴2x＋4＝－2(x＋2)，

∴x＝－2. (2)∵22x2＋3×2x－1＝0，

＋∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0. 令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，

1解得t＝或t＝－1(舍去)．

4

1∴2x＝，解得x＝－2. 4反思与感悟

(1)af(x)＝b型通常化为同底来解．

(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．

跟踪训练1

解下列方程．

(1)33x2＝81；

－3(2)5x＝25；

(3)52x－6×5x＋5＝0. 解

(1)∵81＝34，∴33x2＝34，

－∴3x－2＝4，解得x＝2. (2)∵5x＝25，∴5＝5，

x24∴＝，解得x＝. 233(3)令t＝5x，则t>0，

原方程可化为t2－6t＋5＝0，

解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，

∴x＝1或x＝0. 类型二

指数函数单调性的应用

命题角度1

比较大小

例2

比较下列各题中两个值的大小．

(1)1.7－2.53x223,1.73；(2)1.70.3,1.50.3；

－(3)1.70.3,0.83.1. 解

(1)∵1.7＞1，

∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是单调增函数．

∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.73. －(2)方法一

∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方．

而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3. 1.70.31.70.3方法二

∵1.5＞0，且0.3＝1.5，

1.50.3又1.70.31.7＞1,0.3＞0，∴1.5＞1，

1.5∴1.70.3＞1.50.3. (3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，

∴1.70.3＞0.83.1. 反思与感悟

当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.

跟踪训练2

比较下列各题中两个值的大小．

(1)0.8－0.11－π,1.250.2；(2)π，1. 解

(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是单调减函数．

∵－0.2＜－0.1，∴0.8即0.8－0.1－0.2＞0.8－0.1，

＜1.250.2. 1(2)∵0＜＜1，

π1x∴函数y＝π在R上是单调减函数．

1－π10又∵－π＜0，∴π＞π＝1，

1－π即π＞1. 命题角度2

解指数不等式

例3

解关于x的不等式：a2x1≤ax5(a>0，且a≠1)．

＋－解

当0

＋－∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. 当a>1时，∵a2x1≤ax5，

＋－∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．

反思与感悟

解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．

跟踪训练3

已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1x，则x的取值范围是________．

－1答案

2，＋∞

17a＋2＋>1，

解析

∵a2＋a＋2＝241－∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1x⇔x>1－x⇔x>. 21∴x∈2，＋∞．

命题角度3

与指数函数复合的函数单调性问题

例4

(1)求函数y＝12x26x17的单调区间；

12x1x＋17的单调区间．

(2)求函数y＝－8·22解

(1)y＝12x26x17的定义域为R. ∵在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是单调减函数，

∴y＝12x26x17在(－∞，3]上是单调增函数．

在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是单调增函数，

∴y＝12x26x17在[3，＋∞)上是单调减函数．

x26x17∴y＝12的单调增区间是(－∞，3]，单调减区间是[3，＋∞)．

x1(2)设t＝(t>0)，又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，

21令≤4，得x≥－2. 21112∴当－2≤x1，

222即4≥t1>t2，∴t21－8t1＋17

∴y＝－8·22同理可得单调减区间是(－∞，－2]．

反思与感悟

复合函数单调性问题归根结底是由x1

跟踪训练4

求下列函数的单调区间．

(1)y＝ax22x3；

1(2)y＝x. 0.2－1解

(1)设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为单调减函数，在[－1，＋∞)上为单调增函数．

当a>1时，y关于u为单调增函数；

当0

∴当a>1时，原函数的单调增区间为[－1，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1]；

当0

(2)已知函数的定义域为{x|x≠0}．

1设y＝，u＝0.2x，且u＝0.2x为单调减函数．

u－11而根据y＝的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的单调减函数，∴原函数的单调增u－1区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．

1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a，b，c的大小关系是________．

答案

a

111解析

∵y＝0.5x在R上是单调减函数，且＞＞，

234∴0.5＜0.5＜0.5. 2．方程42x1＝16的解是________．

－1213141213143答案

23－解析

42x1＝42，∴2x－1＝2，x＝. 23．设0＜a＜1，则关于x的不等式a答案

(1，＋∞) 解析

∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是单调减函数，

又∵a22x23x22x23x2＞a2x22x3的解集为________．

＞a2x22x3，

2x3x2＜

2∴

x



2

x



3

，解得x＞1. 14．函数f(x)＝2答案

(－∞，0] x212的单调增区间为________．

1解析

∵f(x)＝2x211，0<<1，∴f(x)的单调增区间为u(x)＝x2－1的单调减区间，即(－∞，0]．

25．若指数函数y＝ax

在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________. 答案

5±1

2－解析

若0

－1＋5－1－5解得a＝或a＝(舍去)．

22若a>1，则a－a1＝1，即a2－a－1＝0，

－1＋51－5解得a＝或a＝(舍去)．

22综上所述a＝5±1. 2

1．比较两个指数式值的大小的主要方法

(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．

(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn. 2．解简单指数不等式问题的注意点

(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．

(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．

3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是01时，y＝af(x)与f(x)的单调性相同．

当0

(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的单调增区间还是单调减区间．